Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Когда я был в Ганновере, в котором жил Лейбниц, мне посчастливилось увидеть одну из его машин. Это великолепная вещь, и нам очень повезло, что она у нас есть. В течение нескольких лет оригинал машины валялся на чердаке в Геттингене – университетском городе, в котором учился и работал Гаусс. Машину вновь обнаружили только в 1879 году, когда рабочие, пытавшиеся починить протекавшую крышу здания, наткнулись на нее в углу чердака.

Машина Лейбница положила начало процессу, который впоследствии привел нас к нынешним калькуляторам и компьютерам. Но это не означает, что возможности компьютеров безграничны. В наше время мы склонны считать, что компьютеры настолько хорошо умеют выполнять быстрые вычисления, что могут сделать практически что угодно. В 1984 году журнал Time утверждал: «Стоит ввести в компьютер правильную программу, и он сделает все, что вам захочется». Но у компьютеров есть ограничения. Даже им иногда требуется программист-человек, способный придумать хитроумный шорткат, чтобы избежать вычислений, выполнение которых на компьютере займет все время существования Вселенной.

Один из самых интересных шорткатов, которые используют компьютеры, связан с применением чисел нового типа, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с миром практических вычислений, – мнимых чисел.

Сквозь математическое зеркало

Можете ли вы решить уравнение x² = 4? Вам, вероятно, не составит труда найти решение x = 2, потому что при возведении 2 в квадрат получается 4. Если немного подумать, вы можете найти и второе решение, потому что x = –2 тоже подходит. Дело в том, что квадрат отрицательного числа – это число положительное. Поэтому –2 в квадрате тоже равно 4.

Это очень простое уравнение. Но что, если я попрошу вас решить вот это:

x² – 5x + 6 = 0?

Вероятно, при виде этого уравнения у многих читателей пробежали по спине мурашки, потому что это одно из квадратных уравнений – уравнений, содержащих х в квадрате, – решать которые учат в школе. Собственно говоря, общую алгоритмическую процедуру, позволяющую получить решение, придумали еще древние вавилоняне. Хотя у них еще не было алгебраического языка для выражения математических идей, в современных обозначениях для поиска корней обобщенного квадратного уравнения

ax² + bx + c = 0

применяется следующая формула:

Значит, в случае уравнения x² – 5x + 6 = 0 нужно подставить в формулу a = 1, b = –5 и c = 6, и мы получим решения x = 2 или x = 3.

Могущество математики по части создания шорткатов для тяжелой работы начало проявляться еще в вавилонскую эпоху. До открытия этой формулы каждое квадратное уравнение приходилось решать вручную. Каждый раз писцы заново изобретали колесо, не сознавая, что снова и снова делают одно и то же, хотя и с разными числами. Но в какой-то момент нашелся писец, который понял, что существует общая алгоритмическая процедура, работающая, к каким бы числам она ни применялась.

В этот момент и началась математика. Это искусство распознавания паттернов, лежащих в основе бесконечного количества таких уравнений. Паттерн показывает, что требуется не потенциально бесконечная работа, а, по сути дела, всего одна операция. Выучивший алгоритм или формулу решения уравнения получает в свое распоряжение шорткат к решению бесконечно многих разных уравнений. Рождение математики в вавилонскую эпоху показывает, почему математику и в самом деле можно назвать искусством шортката.

Но позволяет ли этот шорткат решить все квадратные уравнения?

Как насчет решения уравнения x² = –4? На протяжении многих столетий считалось, что у этого уравнения нет решений. Числа, которые мы используем для подсчета предметов, обладают тем свойством, что их возведение в квадрат всегда дает число положительное. Вавилонский алгоритм – или вавилонская формула – не помогает решить это уравнение, потому что для этого требовалось бы понять, что такое квадратный корень из –4.

Но в середине XVI века произошло одно довольно странное событие. В 1551 году итальянский математик Рафаэль Бомбелли работал над проектом осушения болот в долине Кьяна, относившейся тогда к Папской области. Все шло хорошо, пока работы внезапно не пришлось приостановить. Поскольку Бомбелли было нечем заняться, он решил написать книгу по алгебре. Его увлекли новые интересные формулы для решения уравнений, о которых он прочитал в книге другого итальянского математика, Джироламо Кардано.