Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Несколько лет назад мне посчастливилось попасть на диспетчерскую вышку одного из крупных аэропортов Великобритании. Экраны, по которым плясали миниатюрные значки самолетов, создавали ощущение какой-то безумной компьютерной игры. Но я быстро осознал, что в руках операторов находятся жизни многих тысяч людей. Во время посещения диспетчерского пункта мне велели соблюдать полную тишину. Но, когда мне все же удалось поговорить с одним из диспетчеров, отработавшим смену, я был крайне изумлен, узнав, что система, применяемая для посадки самолетов, использует для ускорения вычислений в рамках радарного слежения за прилетающими воздушными судами мнимые числа.

Тот факт, что радиоволны отражаются от металлических объектов, открыл немецкий физик Генрих Герц. Он сделал это открытие в ходе своих опытов, которые проводил в 1877 году, чтобы доказать существование электромагнитных волн. Его имя увековечено в названии единицы измерения частоты вибрации волн.

Но практические возможности, которые давало это открытие, осознал один из соотечественников Герца. Кристиан Хюльсмайер получил в Германии и Британии патенты на электромагнитное устройство[33], которое, по его мнению, могло помочь кораблю обнаруживать наличие других судов в условиях плохой видимости – например, в тумане. Утверждается, что стремление создать такой прибор возникло у него после того, как он увидел мать, скорбевшую о смерти сына, который погиб при столкновении двух морских судов.

Он продемонстрировал свое изобретение в опыте, поставленном на мосту через Рейн 18 мая 1904 года. Прибор обнаруживал присутствие корабля, спускавшегося по реке, как только тот оказывался в радиусе трех километров. Однако это изобретение опередило свое время, в частности потому, что оно не производило математических вычислений, позволяющих определить, на каком расстоянии находится другое судно и в каком направлении оно движется. В течение еще нескольких лет эта идея интересовала только писателей-фантастов вроде Жюля Верна. Для ее практического воплощения потребовались десятилетия и мировая война.

Вопрос о том, кто именно изобрел радар, название которого получилось из сокращения английских слов radio detection and ranging (радиообнаружение и измерение дальности), остается нерешенным. Разработка таких систем в разных странах в преддверии войны велась в условиях строжайшей тайны, потому что любая страна, успешно внедрившая эту идею, получила бы преимущество в области обнаружения вражеских самолетов. Однако не вызывает сомнений, что одним из первопроходцев этой технологии был шотландский физик Роберт Уотсон-Уотт. Его попросили прокомментировать слухи о «лучах смерти», якобы созданных в Германии на основе радиоволн. Он быстро показал абсурдность этой идеи, но она побудила его заняться исследованием реальных возможностей радиоволновых технологий. Он продемонстрировал, что совместное использование расчетов и радиосигналов позволяет отслеживать перемещение приближающихся самолетов, и это привело к созданию системы радиолокационных станций для обнаружения самолетов, подлетающих к Лондону со стороны Северного моря. Принято считать, что именно радарная сеть Уотсона-Уотта дала Королевским ВВС решающее преимущество в Битве за Британию.

При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.

Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2^х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):

e^iπ + 1 = 0

Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.