Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Диаграмма-роза Найтингейл показывает, насколько действенный шорткат к пониманию сложных проблем открывает их наглядное представление. Ее диаграмма была не первой в своем роде. На самом деле она, вероятно, позаимствовала кое-какие идеи из работ Уильяма Плейфэра. В его книге под названием «Коммерческий и политический атлас» (The Commercial and Political Atlas), опубликованной в 1786 году, было 44 графика. На большинстве из них были построены зависимости какой-либо величины от времени в привычном формате координат x и y. Но один график несколько отличался от прочих. Это был один из самых первых вариантов столбчатой диаграммы, в которой объемы шотландского экспорта и импорта были изображены не в виде кривой, а в виде столбцов, соответствующих численным значениям. Возможно, Найтингейл видела диаграммы такого рода и думала о них.

Плейфэр считал, что в нашем мозге развилась способность расшифровывать некоторые сообщения гораздо точнее, когда они представлены в виде изображения: «Из всех органов чувств глаз дает самое живое и самое точное представление обо всем, что может ему быть представлено; там же, где нужно осознать пропорции разных величин, превосходство глаза несметно».

Сегодня, в наше чрезвычайно визуальное время, нас то и дело осыпают графическими представлениями чисел. Диаграммы, которые расшифровывают тайны, скрытые в данных, составляют могущественный инструмент политики и коммерции. Но, если хорошая диаграмма может открыть шорткат к пониманию, плохая точно так же способна привести к совершенно неверным выводам.

Некоторые новостные организации печально известны склонностью к недобросовестному использованию диаграмм для передачи политических сообщений. Посмотрите на столбчатую диаграмму, приведенную внизу. Ее использовали, чтобы проиллюстрировать якобы гибельные последствия отмены налоговых льгот, установленных президентом США Джорджем У. Бушем, для налоговой системы. Разница кажется огромной. Пока не заметишь, что вертикальная ось начинается не с 0, а с 34 %. Если построить ось начиная от 0, разница становится гораздо меньше.

Рис. 5.3. Два разных взгляда на эффект налоговых льгот

А вот еще один классический пример недобросовестного использования столбчатых диаграмм:

Рис. 5.4. Обманчивая диаграмма объема продаж компаний

Этот график должен продемонстрировать превосходство компании C над компаниями B и А. Но для представления данных важна только высота столбца. Однако из-за пропорционального увеличения ширины столбцов достижения компании оказываются сильнейшим образом преувеличенными. Хотя объем продаж компании C в пять раз больше, чем у компании А, столбец компании А занимает в 25 раз меньше места, чем столбец компании С.

Можно сказать, что у диаграммы-розы Флоренс Найтингейл были некоторые упущенные возможности. Найтингейл построила ее так, чтобы площадь розы соответствовала числам. Однако, поскольку площадь лепестков растет во всех направлениях, впечатление от их величины оказалось ослабленным. Выбери она не розу, а столбчатую диаграмму, высота столбцов, соответствующих синим участкам, выделялась бы на фоне остальных еще ярче.

Картография

Вероятно, идеальный пример шортката через диаграмму – это карта. Это не копия территории, которую она изображает. Начнем с того, что весь смысл картографии состоит в уменьшенном изображении местности. Но даже с учетом этого многие характеристики приходится отбрасывать. Но, если составить качественную карту, которая включает в себя избранные существенные элементы и отбрасывает все ненужное, получается великолепный шорткат к ориентированию.

Мне всегда нравилась история из последней книги Льюиса Кэрролла – «Сильвия и Бруно. Окончание истории» (Sylvie and Bruno Concluded, 1893). Речь там идет о стране, в которой не понимали, насколько важно отбрасывать информацию при составлении карт. Местные жители гордились точностью своих карт:

– Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миля на милю!

– И часто вы ею пользуетесь? – спросил я.

– Ее еще ни разу не расстилали. Крестьяне были недовольны. Они сказали, что, если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и смело могу вас заверить, действует она преотлично[71].

В этом шутливом диалоге Кэрролл показывает, что при создании карт приходится выбирать, чего именно в них включать не следует.