Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Это пример нового мировоззрения, появившегося в середине XIX века. Точные расстояния между объектами могут не иметь значения; главным фактором, определяющим форму, часто бывают связи между этими объектами. Одним из первых исследователей, которые начали задумываться о том, что свойства поверхностей могут зависеть не столько от физической геометрии, сколько от связей между точками, расположенными на них, был Гаусс. Хотя он так и не опубликовал свои идеи, они послужили отправной точкой для работ Иоганна Бенедикта Листинга, впервые назвавшего в 1847 году этот новый способ видения мира топологией. В главе 9 мы увидим, что топологические карты могут быть чрезвычайно удобным шорткатом к ориентированию в самых разных сетях, не только в лондонском метро.

Но диаграммы не обязательно ограничиваются иллюстрированием физических связей между разными точками Лондона. Очень эффективно используются карты, на которых отмечают не станции метро, а идеи. Их называют картами мыслей[76], а их назначение – выявить интересные связи между разными идеями, которые мы исследуем. Карты мыслей уже много лет служат незаменимой подмогой студентам, зубрящим перед экзаменами, потому что они помогают превращать темы, которые кажутся слишком сложными для выражения словами, в связные повествования. В известном смысле они опираются на принцип дворца памяти, о котором рассказывал Эд Кук. Карта мыслей может преобразовать винегрет из идей в воображаемый маршрут, по которому можно путешествовать по страницам.

Однако у этих диаграмм долгая история. Студентом в Кембридже Ньютон рисовал в записных книжках загогулины, складывающиеся в своего рода карту мыслей, которой он иллюстрировал свои идеи о возможных связях между разными философскими вопросами. Суть в том, что такие карты нарушают более или менее линейную манеру, в которой идеи обычно бывают представлены в учебниках, имитируя более многомерные процессы, которые использует для обработки идей наш разум.

Отображение великого и малого

Как говорил Леонардо, визуальный мир способен описать то, что навсегда останется недоступным для мира письменного. Одно-единственное изображение может выразить основополагающую структуру, которую скрывает сложность слов или уравнений. Но диаграмма – это не просто физическое представление того, что мы видим глазом. Могущество диаграмм заключается в их способности кристаллизовать новые способы видения мира. Как показывает шуточная идея Кэрролла о безмасштабной карте, для этого часто требуется отбросить часть информации, сосредоточиться лишь на самом главном. В других случаях научные идеи переводятся на язык визуальных образов, создающий новую карту, в которой главную роль играют геометрические построения, помогающие нам разобраться в том научном вопросе, о котором идет речь.

Силу хорошего изображения, несомненно, сознавал польский математик и астроном Николай Коперник. Изложение гелиоцентрической теории Коперника занимает в его великом труде, трактате «О вращении небесных сфер» (De revolutionibus orbium coelestium), опубликованном незадолго до его смерти в 1543 году, 405 страниц текста, чисел и формул. Однако лучше всего его революционную идею – что центром Солнечной системы является не Земля, а Солнце – выражает простое изображение, схема, которую Коперник начертил в самом начале этой книги.

Рис. 5.6. Схема Солнечной системы, в центре которой находится Солнце, из книги Коперника

В его иллюстрации присутствуют некоторые из важнейших элементов лучших диаграмм. Не предполагается, что концентрические окружности точно описывают орбиты планет. Коперник знал, что форма орбит отличается от окружности. Не предполагается, что одинаковые расстояния между окружностями показывают, насколько планеты удалены от Солнца или друг от друга. Этот чертеж всего лишь выражает простую, но потрясающую мысль о том, что мы находимся не в центре всего. Он преобразил наши взгляды на то место, которое мы занимаем во Вселенной.

Сегодня космологи используют диаграммы для изображения всей Вселенной и всех 13,8 миллиарда лет ее истории, для представления строения массивных черных дыр, для понимания сложных аспектов нашего четырехмерного пространства-времени. Присущая диаграммам способность открывать шорткаты к огромности Вселенной – это, пожалуй, единственный способ, которым мы можем осознать свое место на масштабе, кажущемся на первый взгляд невозможно большим.

Но диаграммы могут служить и увеличительным стеклом, позволяющим увидеть нечто чрезвычайно малое. Зайдите в любую химическую лабораторию, и вы увидите написанные на досках буквы, соединенные одинарными, двойными, а иногда и тройными линиями, изображающими связи между атомами, которые обозначают эти буквы. Эти диаграммы рассказывают химикам, как группируются атомы, образующие мир молекул.

Рис. 5.7. Молекулярные диаграммы[77]