Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Сегодня эти диаграммы, придуманные Фейнманом, – первое средство, к которому обращаются физики-теоретики, пытающиеся понять, что происходит при взаимодействии частиц. Они представляют собой поразительный схематический шорткат к взаимосвязям, действующим на самом фундаментальном уровне физической вселенной. Хотя еще ни в одном эксперименте не были обнаружены отдельные кварки, такие диаграммы, начерченные на доске, дают нам возможность следить за тем, что происходит с этими элементарными частицами по мере их взаимодействия с окружающим миром.

Еще один, не менее плодотворный, визуальный шорткат к сложнейшим идеям фундаментальной физики создал мой оксфордский коллега Роджер Пенроуз. В 1967 году он предложил теорию твисторов, задача которой состоит в объединении квантовой физики – физики предельно малого – с теорией гравитации, по большей части касающейся физики чрезвычайно крупных объектов. Эта теория построена на объемном математическом аппарате, и Пенроуз считал, что в сложной математике лучше всего разбираться при помощи рисунков. По счастью, он сам весьма талантливый художник; в его работах встречаются очень интересные переклички с произведениями голландского художника М. К. Эшера. Вероятно, художественное дарование Пенроуза помогло ему создать диаграммы, ставшие наилучшим шорткатом к пониманию сложных математических аспектов его теории.

Хотя Пенроуз изложил свои идеи в конце шестидесятых годов, широкое распространение они получили лишь недавно, благодаря новой работе, связывающей его теорию с современными представлениями. Одна из созданных благодаря этому новому подходу диаграмм, которую назвали амплитуэдром, стала поразительным шорткатом к пониманию физики взаимодействия восьми глюонов – частиц, «склеивающих» кварки при помощи сильного взаимодействия[83]. Аналогичные вычисления даже с использованием диаграмм Фейнмана потребовали бы около пятисот страниц математических выкладок.

«Эффективность этого метода поражает воображение, – отмечает Джейкоб Бурджейли, физик-теоретик из Гарвардского университета, бывший в числе исследователей, разработавших эту новую идею. – Он позволяет легко выполнить на бумаге расчеты, которые до этого было невозможно произвести даже на компьютере».

Диаграммы Венна

Вы, возможно, уже знакомы с диаграммами, подобными той, которую я продемонстрировал в головоломке в начале этой главы. Это так называемые диаграммы Венна, действенное визуальное средство организации информации. Каждый круг обозначает некую концепцию, а области, в которых эти круги пересекаются или не пересекаются, – разные логические варианты взаимоотношений этих концепций. Возьмем, например, идею принадлежности числа к множествам а) простых чисел, б) чисел Фибоначчи и в) четных чисел. Мы можем распределить числа от 1 до 21 в соответствии с тем, каким из этих категорий они соответствуют.

Рис. 5.10. Диаграмма Венна простых чисел, чисел Фибоначчи и четных чисел

Диаграмма Венна – это удобный и наглядный способ представления разных возможностей. В данном случае из диаграммы видно, что число 2 – единственное четное простое число (поэтому математики любят шутить, что 2 – непростое простое число). Нет ни одного числа, которое было бы четным и простым, но не относилось к числам Фибоначчи.

Эти диаграммы называются именем английского математика Джона Венна, предложившего их в 1880 году в статье под названием «О диаграмматическом и механическом представлении тезисов и рассуждений» (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings). Предполагалось, что диаграммы помогут понимать логический язык, который разрабатывал современник Венна Джордж Буль. Помимо них Венн занимался изготовлением «крикетных пушек» – автоматов, подающих мячи для тренировки отбивающих игроков. Однажды опробовать его машину попросили игроки приехавшей в Кембридж, где работал Венн, сборной Австралии по крикету. Они были несколько ошарашены, когда машина четыре раза подряд выбила из игры капитана команды. Но Венн считал более важным своим достижением диаграммы.

«Я сразу стал несколько увереннее работать над темами и книгами, которые я должен преподавать, – писал он. – Теперь я начинаю с диаграмматического приема, представляющего тезис в виде включающих и исключающих кругов. Разумеется, к тому времени этот прием не был новым, но он настолько явно отражал тот способ, которым любой рассматривающий тему с математической точки зрения попытался бы наглядно представить тезисы, что я почти сразу же пристрастился к нему».

Венн был прав: идея использования графических изображений для представления логических возможностей была не нова. Есть даже свидетельства того, что нечто подобное создал живший еще в XIII веке философ Раймунд Луллий. С помощью своих диаграмм он старался разобраться в связях между разными религиозными и философскими атрибутами. Они предназначались для применения в дебатах, целью которых было убедить мусульман перейти в христианскую веру при помощи логических рассуждений[84].