Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Но закрепилось за ними именно имя Венна. Чаще всего можно увидеть диаграммы, иллюстрирующие три разные категории. Это связано с тем, что такую диаграмму, по-видимому, проще всего начертить так, чтобы она учитывала все возможные варианты. Когда дело доходит до четырех разных категорий, становится гораздо труднее добиться, чтобы пересечения областей отражали все логические возможности. Например, следующая диаграмма недостаточно полна:

Рис. 5.11. Это не диаграмма Венна для четырех множеств

На ней нет области, соответствующей пересечению множеств А и D без пересечения с двумя остальными. Вместо нее нужна диаграмма такого рода:

Рис. 5.12. Диаграмма Венна для четырех множеств

В диаграмме Венна для семи множеств уже начинает теряться смысл диаграммы как средства, облегчающего понимание:

Рис. 5.13. Диаграмма Венна для семи множеств

Одна из самых любимых моих книг называется «Угадай мелодию по Венну» (Venn That Tune, 2008); ее написал Эндрю Винер, использовавший диаграммы Венна для кодирования названий песен. Он же был автором головоломки, приведенной в начале этой главы. Эта диаграмма обозначает песню «Застрял с тобой посередине» (Stuck in the Middle with You) британской группы Stealers Wheel, работающей в жанре фолк-рок.

Шорткат к шорткатам

Как представить сообщения или данные в виде изображения или диаграммы? В нашем распоряжении много разных жанров, которые могут открыть шорткат к пониманию. Простой график, иллюстрирующий зависимость прибылей компании от времен года. Столбчатая диаграмма, отслеживающая популярность разных блюд в кафе. Диаграмма Венна, объясняющая совпадения и различия мнений разных политических партий. Или же сетевая схема, подобная схеме лондонского метро, выявляющая те связи между идеями, которые не позволяют разглядеть слова.

Пит-стоп: Экономика

«Самый мощный инструмент в экономике – это не деньги и даже не алгебра. Это карандаш». С этих слов начинается книга Кейт Раворт «Экономика пончика» (Doughnut Economics, 2017), в которой она предлагает новую диаграмму, ставящую под вопрос экономический дискурс XX века. Это диаграмма в форме пончика.

Рис. 5.14. «Экономика пончика»

Я горячий поклонник книги Раворт, отчасти потому, что пончик (или тор, как мы называем эту форму в математике) – одно из моих самых любимых геометрических тел. Не только потому, что пончики вкусны, но и из-за чрезвычайно интересных математических аспектов его формы. Понимание связанной с ним арифметики было центральным элементом доказательства Великой теоремы Ферма. Понимание его топологии было жизненно важно для понимания того, какой может быть форма Вселенной. Но, как я узнал из книги Раворт, пончик к тому же является ключом к перевороту в экономике. Поэтому мне очень хотелось поговорить с ней о происхождении этой революционной диаграммы и ее функции шортката к экономическому мышлению.

Стоит открыть любую книгу по экономике, прослушать любую лекцию, посмотреть любой фильм на экономические темы, и мы неизбежно увидим одну и ту же пару диаграмм, появляющуюся снова и снова. Одна из них – это график роста, изображающий кривую, которая экспоненциально загибается вверх, обещая нам будущее с, по-видимому, беспредельными объемами производства. Вторая – график с двумя прямыми или кривыми, которые пересекаются, образуя Х-образную фигуру, и описывают зависимость спроса и предложения от количества и цены товаров. Кривая спроса показывает, что чем ниже цена, тем больше товара может приобрести покупатель. Кривая предложения демонстрирует, что объем производства растет, если растет цена. Считается, что совмещение этих двух кривых позволяет найти точку экономического равновесия, то есть цену, при которой объем спроса равен объему предложения.

Эти диаграммы были настолько влиятельны, что привели к убеждению, будто экономика, по сути дела, зависит только от спроса и предложения. Но Раворт хотела опровергнуть эту модель. В ней не хватало факторов, чрезвычайно важных для понимания мировой экономики – экологии и прав человека. Как писал в книге «Из обломков» (Out of the Wreckage, 2017) Джордж Монбио, лучшее, что можно противопоставить дискурсу, – это другой дискурс. Раворт придерживается сходной философии. «Эти старые диаграммы подобны интеллектуальным граффити на разуме, а граффити очень трудно соскрести, – говорит она. – Лучше всего зарисовать их чем-нибудь новым».

Раворт всегда считала, что изображения лучше всего помогают понимать сложные концепции. «В школе мне не разрешали рисовать на полях книг, но теперь мы понимаем, что существует много разновидностей интеллекта, и визуальный интеллект – одна из них. Подростком я обожала читать Фейнмана. В его книгах было полно рисунков. Может быть, именно это еще тогда подсказало мне, что это часть понимания, хотя другие говорили, что я рисую какие-то каракули».