Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

По правде говоря, и Лейбниц, и Ньютон лишь начали процесс разработки математического анализа. Трактаты и аналитические выкладки обоих обладают многочисленными недостатками. Задача создания прочных логических основ матанализа выпала на долю следующего поколения. Но нельзя отрицать, что успехи следующего поколения стали возможными лишь благодаря тем революционным открытиям, которые совершили Ньютон и Лейбниц. Говоря словами знаменитого высказывания Ньютона: «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов»[93].

Занимаются ли собаки матанализом?

Однако возможно, что и Ньютона, и Лейбница опередили с созданием математического анализа другие соперники. Судя по некоторым данным, в животном царстве научились находить оптимальные решения задолго до того, как люди открыли для себя шорткат матанализа.

Вернемся к нашему доверенному советнику: он уже получил свой максимальный земельный надел, определенный при помощи матанализа, и теперь отдыхает на пляже. Внезапно он замечает в море попавшего в беду пловца. Он зовет дежурящую на пляже женщину-спасателя, призывая ее спасти тонущего.

Рис. 6.5. Какой путь нужно выбрать спасателю, чтобы быстрее всего добраться до тонущего пловца?

Предположим, что спасатель бегает в два раза быстрее, чем плавает. В какой точке ей следует войти в воду, чтобы спасти тонущего быстрее всего?

Если бы спасатель старалась минимизировать расстояние, которое ей нужно преодолеть, она бы просто провела прямую линию между начальной и конечной точками. Но, поскольку в воде спасатель перемещается медленнее, чем на суше, на самом деле ей нужно выбрать маршрут, сокращающий время плавания. Однако, если она побежит к точке, плавание из которой займет наименьшее время, возникнет другая проблема. В этом случае ей придется преодолеть большее расстояние по пляжу, что в конечном счете увеличит общее время. Видимо, оптимальным решением будет отправить спасателя в некоторую точку, расположенную справа от пересечения береговой линии с прямой между ними, но не доходя до места, в которое приходит перпендикулярная берегу прямая, проведенная от местоположения пловца. Где же лучше всего войти в воду, чтобы найти истинный шорткат к тонущему пловцу?

Ферма размышлял и об этой задаче. Это еще одна задача на оптимизацию. В варианте Ферма речь шла не о поиске самого быстрого маршрута для спасателя, а о пути, по которому распространяется луч света.

Вам, возможно, знакома странная иллюзия, возникающая в бассейне, когда внезапно начинает казаться, что на опущенной в воду палке появляется излом. На самом деле изгибается не палка, а свет, проходящий от палки до глаза наблюдателя. Как я уже говорил в главе 4, свет обожает шорткаты. Он старается найти кратчайший путь от палки до глаза. Но в воде свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поэтому он, как и наша спасатель, старается провести в воде как можно меньше времени, но так, чтобы время, проведенное в воздухе, не было чрезмерно долгим. Тот же принцип объясняет странные миражи, которые можно увидеть в пустыне. Свет, испускаемый участком неба, распространяется по кратчайшему пути через нагретый воздух, расположенный ближе к земле, а затем попадает в глаза, в результате чего кажется, что небо, похожее на воду, находится на земле.

Спасателю, как и советнику с его изгородью, нужно составить уравнение относительно времени, которое займет путь до пловца, если войти в море в Х метрах от начальной точки. Затем она сможет найти при помощи математического анализа значение Х, при котором это время будет наименьшим. Но что делать, если у вас под рукой нет ни бумаги, ни карандаша? Если алгебра и матанализ еще не изобретены? Что делать, если полагаться можно только на интуицию и ощущения? Что делать, если вы собака? Насколько хорошо собака сумеет определить правильную точку входа в воду?

Тим Пеннингс, профессор математики в Мичиганском университете Хоуп и собаковод, решил провести несколько экспериментов, чтобы проверить, насколько хорошо решает эту задачу из математического анализа его собака. Как и многие другие собаки, его вельш-корги по кличке Элвис обожает гоняться за мячиком. Поэтому Пеннингс решил, что проведет эксперимент, не спасая тонущих пловцов, а бросая мячик в озеро Мичиган во время прогулок с Элвисом и наблюдая за тем, какой маршрут к мячику Элвис будет выбирать.

Разумеется, главной целью Элвиса могла быть минимизация количества сил, затраченных на добывание мячика. В этом случае оптимальным решением было бы сократить до минимума время пребывания в воде и бежать к точке, в которой берег пересекает перпендикулярная к нему прямая, проведенная по поверхности озера. Но Пеннингс видел по блеску в глазах Элвиса и сильнейшему возбуждению собаки в тот момент, когда мячик вылетал из его руки, что Элвис стремится добраться до мячика как можно быстрее. Таким образом, все было готово для эксперимента по изучению интуитивных способностей Элвиса к математическому анализу.