Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Тогда прошел слух, что некий 24-летний юноша из Брауншвейга заявил, будто знает, где искать пропавшую планету. Он сказал астрономам, куда им нужно направить свои телескопы, – и как будто по волшебству, Церера действительно оказалась там. Этим молодым человеком был не кто иной, как мой герой, Карл Фридрих Гаусс.

После первых школьных достижений в девятилетнем возрасте Гаусс продолжил совершать интереснейшие математические открытия, в том числе изобрел способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи только линейки и циркуля. Эта задача оставалась нерешенной в течение 2000 лет, с тех самых пор, как древние греки начали придумывать хитроумные способы построения геометрических фигур. Гаусс был так горд этим свершением, что начал вести математический дневник, в который заносил в последующие годы свои поразительные открытия в области чисел и геометрии. Но особенно его заинтересовали данные новой планеты. Можно ли найти в величинах, измеренных до исчезновения Цереры за Солнцем, логику, которая объяснила бы, где ее искать? В конце концов он разгадал и этот секрет.

Разумеется, в его великом астрономическом свершении не было никакого волшебства. Одна лишь математика. Астрономы открыли Цереру по случайности. Применив средства математического анализа, Гаусс выявил паттерн, скрывавшийся за числами, которые описывали положение этого астероида, и узнал, где он должен оказаться в будущем. Конечно, паттерны динамики космических тел замечали и до него. Астрономы использовали этот шорткат к ориентации в ночном небе для составления предсказаний и планирования будущего с тех самых пор, как род человеческий понял, что между будущим и прошлым существует связь.

Благодаря паттерну смены времен года крестьяне могли планировать сев. Каждое время года соответствовало особому расположению звезд. Паттерны поведения – миграции и спаривания – животных позволяли древнему человеку охотиться в наиболее удобные для этого моменты, когда можно получить максимальную добычу с минимальной затратой сил. Способность предсказывать затмения делала предсказателя важным членом племени. Хорошо известно, что в 1503 году, когда суда Христофора Колумба сели на мель на Ямайке, он спас свой экипаж, попавший в плен к местным жителям, воспользовавшись своими знаниями о надвигавшемся лунном затмении. Туземцев так поразила его способность предсказывать исчезновение Луны, что они согласились отпустить пленников на свободу.

Назовите следующее число

Суть поиска паттернов идеально выражают задачи, которые вам, вероятно, приходилось решать в школе: вам дают последовательность чисел и просят определить следующее число в этой последовательности. Я очень любил такие задачи, которые наш учитель выписывал мелом на доске. Чем больше времени уходило у меня на поиски паттерна, тем более ценным казался найденный в конце концов шорткат. Этот урок я усвоил довольно рано. Обнаружение самых лучших шорткатов часто занимает много времени. Оно требует усилий. Но стоит найти такой шорткат, и он становится частью вашего инструментария познания мира и вы можете использовать его снова и снова.

Вот несколько заданий, которые помогут активировать ваши нейроны, занимающиеся поиском шорткатов, основанных на паттернах. Каким будет следующее число в этой последовательности?

1, 3, 6, 10, 15, 21 …

Не слишком сложная задача. Вы, вероятно, заметили, что на каждом шаге всего лишь прибавляется следующее по порядку число. Следующее число равно 21 + 7, то есть 28. Эти числа называются треугольными, потому что они соответствуют количеству камешков, которые нужны для построения треугольника: на каждом шаге к треугольнику добавляется еще один ряд камешков. Но существует ли шорткат, позволяющий найти сотое число, не перебирая все предыдущие 99? Собственно говоря, это именно та задача, которую пришлось решить Гауссу, когда учитель задал ему сложить все числа от 1 до 100. Гаусс нашел хитроумный шорткат и вычислил ответ, складывая числа попарно. В более общем случае, если вам нужно найти n-е треугольное число, прием Гаусса выражается следующей формулой:

1/2 × n × (n + 1).

Эти треугольные числа продолжали интересовать Гаусса с тех самых пор, как он впервые познакомился с ними на уроке герра Бюттнера. Более того, одна из записей в его математическом дневнике от 10 июля 1796 года состоит из греческого восклицания «Эврика!», за которым следует формула:

num = Δ + Δ + Δ.

Гаусс открыл следующий весьма замечательный факт: любое число может быть записано в виде суммы не более трех треугольных чисел. Например, 1796 = 10 + 561 + 1225. Наблюдения такого рода могут порождать очень полезные шорткаты: вместо того чтобы доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех чисел, может быть достаточно доказать его для треугольных чисел, а затем использовать открытое Гауссом правило, что любое число есть сумма трех треугольных чисел.

Вот еще одна задача. Назовите следующее число в последовательности:

1, 2, 4, 8, 16 …