Искусство статистики. Как находить ответы в данных

На рис. 6.5 представлен калибровочный график для простого дерева классификации, использованного для тестового набора. Мы хотим, чтобы точки лежали ближе к диагонали (то есть заявленные вероятности соответствовали реальной доле наблюдений). Вертикальные отрезки означают области, в которых будет находиться реальная доля в 95 % случаев для данной предсказанной вероятности. Если они пересекают диагонали, как на рис. 6.5, мы можем считать, что наш алгоритм хорошо откалиброван.

Рис. 6.5

Калибровочный график для простого дерева классификации, дающего вероятности выживания при катастрофе «Титаника». По горизонтальной оси отложены прогнозы, по вертикальной – наблюдаемая доля выживших. Мы хотим, чтобы точки лежали на диагонали – это показывает, что вероятности надежны и означают именно то, о чем говорят

Комбинированное измерение «точности» для вероятностей

Хотя ROC-кривая оценивает, насколько хорошо алгоритм делит людей на группы, а калибровочный график показывает, означают ли вероятности то, о чем они говорят, было бы лучше найти какую-то простую комбинированную меру, объединяющую обе характеристики в одно число, которое мы могли бы использовать для сравнения алгоритмов. К счастью, синоптики еще в 1950-е годы придумали, как это сделать.

Если мы прогнозируем какую-нибудь числовую величину (например, температуру завтра в полдень в определенном месте), то точность прогноза обычно характеризуется ошибкой – разностью между предсказанной и реальной температурой. В отношении нескольких дней, как правило, вычисляют среднеквадратичную ошибку (MSE) – среднее значение квадратов отдельных ошибок; это аналог критерия наименьших квадратов, используемый в регрессионном анализе.

Особенность применения данного метода для вероятностей состоит в использовании критерия наименьших квадратов как при прогнозировании количества, но с учетом того, что будущее наблюдение дождя имеет значение 1, а его отсутствие – 0. Табл. 6.2 показывает, как это будет работать для некой вымышленной синоптической системы. Для понедельника вероятность дождя в прогнозе равнялась 0,1, но дождя не было (истинный отклик 0), поэтому ошибка составляет 0–0,1 = –0,1. При возведении в квадрат получим 0,01. Повторим это для всей недели. Тогда среднее арифметическое из всех ошибок B – мера точности прогнозов этого синоптика. В нашем случае B ≈ 0,11[131]. Такая среднеквадратичная ошибка известна как показатель Бриера (названа в честь метеоролога Гленна Бриера, который описал этот метод в 1950 году).

Таблица 6.2

Вымышленные прогнозы «вероятности осадков»: будет дождь завтра в полдень в определенном месте или нет. Наблюдаемые результаты: 1 = был дождь, 0 = дождя не было. «Ошибка» – это разность между прогнозом и наблюдением, а показатель Бриера B – это среднеквадратичная ошибка. Показатель Бриера BC для климатических данных основан на использовании средних долговременных данных для дождя в это время года, и в нашем случае предполагается, что вероятность дождя составит 20 % для всех дней

К сожалению, сам по себе показатель Бриера не так легко истолковать, а потому трудно определить, насколько квалифицированно работает тот или иной синоптик. Лучше всего сравнивать его с контрольным показателем, основанным на исторических записях о климате. Такие климатические прогнозы не учитывают текущих условий и просто оценивают вероятность осадков как долю тех случаев, когда в этот день шел дождь. Подобный прогноз может делать кто угодно без каких-либо навыков – в табл. 6.2 мы условно считаем, что для каждого дня на этой неделе вероятность дождя составит 20 %. Это даст нам показатель Бриера, рассчитанный по климатическим историческим данным (мы назвали его BC), равный 0,28.

Любой приличный алгоритм прогнозирования должен работать лучше того, который основан только на исторических данных для этого дня, и наша система действительно улучшила показатель Бриера: BC – B = 0,28 – 0,11 = 0,17. Затем синоптик получает оценку мастерства, которая отражает пропорциональное уменьшение контрольного показателя – в нашем случае 0,61[132]. Иными словами, наш алгоритм на 61 % лучше, чем примитивный метод, использующий только исторические данные о климате.

Конечно, идеальная цель – оценка 100 %, однако такое возможно только в случае, когда показатель Бриера равен 0, то есть мы абсолютно точно предсказываем, будет дождь или нет. Это требует от синоптика особого мастерства, и реальные оценки качества работы при прогнозировании дождя сейчас составляют около 0,4 для прогнозов на следующий день и 0,2 для недельного прогноза[133]. Конечно, самый ленивый прогноз – это просто сказать: все, что происходит сегодня, будет происходить и завтра. Это обеспечивает идеальное соответствие с историческими данными (сегодняшним днем), но для предсказания будущего не слишком эффективно.