Искусство статистики. Как находить ответы в данных

Это идея «ожидаемого количества». Столкнувшись с задачей о двух монетах, вы спрашиваете себя: «Что будет, если я проведу такой эксперимент несколько раз?» Например, вы подбрасываете одну монету, потом вторую – всего делаете так четыре раза. Подозреваю, что даже политик мог бы, слегка подумав, прийти к выводу, что можно ожидать результатов, показанных на рис. 8.2.

Рис. 8.2

Дерево ожидаемых частот для подбрасывания двух монет, повторенного четыре раза. Например, вы ожидаете, что среди первых четырех подбрасываний будут два орла, а на втором подбрасывании в одном случае выпадет орел, а во втором – решка

Таким образом, один раз из четырех вы могли бы ожидать выпадения двух орлов. Поэтому вероятность, что оба орла выпадут в единственной попытке, составляет 1 / 4. К счастью, это и есть правильный ответ.

Дерево ожидаемых частот можно преобразовать в «дерево вероятностей», если для каждой «развилки» указать долю соответствующих случаев (см. рис. 8.3). Тогда становится ясно, что общая вероятность всей ветви дерева (например, выпадения орла после орла) получается путем умножения дробей, стоящих на частях ветви, то есть 1 / 2 × 1 / 2 = 1 / 4.

Рис. 8.3

Дерево вероятностей для подбрасывания двух монет. На каждой «развилке» указана доля событий. Вероятность целой ветви дерева определяется путем умножения дробей на всех ее частях

Деревья вероятностей – весьма распространенный и крайне эффективный способ изучения вероятностей в школе. В самом деле, мы можем использовать этот простой пример с двумя монетами для ознакомления со всеми правилами вероятностей. Дерево показывает следующее:

1. Вероятность события – это число от 0 до 1, где 0 – вероятность невозможных событий (например, не выпали ни орлы, ни решки), а 1 – вероятность достоверных событий (выпала какая-то из четырех возможных комбинаций).

2. Правило дополнения. Дополнением к событию А называется событие, которое произойдет в случае, если А не произошло. Вероятность его наступления равна единице минус вероятность события А. Например, вероятность события «выпала хотя бы одна решка» равна единице минус вероятность события «выпало два орла»: 1–1 / 4 = 3 / 4.

3. Правило сложения (правило «ИЛИ»): если события несовместны (то есть не могут произойти одновременно), то вероятность того, что произойдет хотя бы какое-то одно из них, равна сумме вероятностей отдельных событий. Например, вероятность «выпадения хотя бы одного орла» составляет 3 / 4, так как включает три несовместных события: «выпало два орла», ИЛИ «выпал сначала орел, а потом решка», ИЛИ «сначала выпала решка, а потом орел» – каждое с вероятностью 1 / 4.

4. Правило умножения (правило «И»): при наличии последовательности независимых событий (то есть одно не влияет на другое) вероятность наступления всех событий в последовательности равна произведению вероятностей отдельных событий. Например, вероятность выпадения двух орлов равна 1 / 2 × 1 / 2 = 1 / 4.

Эти основные правила позволяют решить задачу шевалье де Мере, показывая, что на самом деле в варианте 1 его шансы на победу составляли 52 %, а в варианте 2 – 49 %[161].

Мы по-прежнему делаем сильные предположения – даже в простейшем примере с подбрасыванием монет. Мы полагаем, что монета симметрична, что результат при ее подбрасывании не будет предсказуем, что она не упадет на ребро, что после первого броска в Землю не врежется астероид и так далее. Задача всех этих серьезных (за исключением, пожалуй, падения астероида) соображений – подчеркнуть, что все используемые нами вероятности условны: не существует безусловной вероятности события; всегда есть какие-то предположения и иные факторы, которые могут на нее влиять. И, как мы сейчас увидим, нам нужно проявлять осторожность в отношении того, на чем мы основываемся.

Условная вероятность – когда вероятности зависят от других событий

При диагностике рака молочной железы точность маммографии – примерно 90 %, то есть она правильно определяет 90 % женщин с раком и 90 % женщин без рака. Предположим, что 1 % обследуемых женщин действительно больны. Какова вероятность, что у случайно выбранной женщины окажется положительная маммограмма, и если так, то какова вероятность, что у женщины на самом деле рак?