Искусство статистики. Как находить ответы в данных

В случае с двумя монетами события независимы, поскольку вероятность выпадения орла на второй монете не зависит от результата подбрасывания первой монеты. В школе мы обычно узнаем о зависимых событиях, когда нам начинают задавать несколько утомительные вопросы, скажем, о разноцветных носках, которые вытаскивают из ящика. Пример выше гораздо ближе к реальной жизни.

Подобные задачи – классические в тестах оценки интеллекта, и их не так легко решать. Однако идея ожидаемого количества существенно упрощает проблему. Ее суть – подумать, чего можно ожидать для большой группы женщин (скажем, 1000), как показано на рис. 8.4.

Рис. 8.4

Дерево ожидаемых частот, отображающее наши ожидания для 1000 женщин, проходящих скрининг рака молочной железы. Мы предполагаем наличие рака у 1 % женщин, а маммография верно классифицирует 90 % женщин с раком молочной железы и 90 % женщин без рака. Всего мы можем ожидать 9 + 99 = 108 положительных маммограмм, из которых девять окажутся истинно правильными

Из 1000 женщин у 10 (1 %) действительно выявляют рак молочной железы. Из этих 10 у девяти (90 %) обследование даст положительный результат. Однако из 990 здоровых женщин (без рака) у 99 (10 %) маммография будет ложноположительной. В общей сложности мы получим 9 + 99 = 108 положительных маммограмм, а значит, вероятность того, что у случайно выбранной женщины будет положительный результат, равна 108 / 1000 ≈ 11 %. Но среди этих 108 реально больны раком только 9, поэтому вероятность, что у женщины на самом деле рак, равна 9 / 108 ≈ 8 %.

Это упражнение на условную вероятность помогает понять весьма парадоксальный результат: несмотря на «90-процентную точность» маммографии, подавляющее большинство женщин с положительной маммограммой на самом деле не больны. Легко перепутать «вероятность положительного теста при условии наличия рака» с «вероятностью рака при условии положительного теста».

Такая путаница известна как «заблуждение прокурора», поскольку часто встречается в судебных разбирательствах, связанных с анализом ДНК. Например, судебно-медицинский эксперт может утверждать, что «если обвиняемый невиновен, то вероятность того, что его ДНК совпадет с ДНК, найденной на месте преступления, только один шанс на миллиард». Но это неверно интерпретируется как «учитывая данные анализа ДНК, есть только один шанс на миллиард, что обвиняемый невиновен»[162].

Подобная ошибка не редкость, но логика здесь так же неправильна, как и в переходе от утверждения «если вы папа римский, то вы католик» к утверждению «если вы католик, то вы папа римский», где абсурдность выражения сразу бросается в глаза.

Так что же такое вероятность?

В школе нас учат математике расстояний, масс и времени, которые мы можем измерить с помощью рулетки, весов или часов. Но как измерить вероятность? Не существует никакого вероятностемера. Словно вероятность – это некая «виртуальная» величина, которой мы можем присвоить какое-то число, но не измерить напрямую.

Еще больше настораживает вполне закономерный вопрос: а что вообще означает вероятность? Есть какое-то доходчивое определение этого понятия? Это может выглядеть как схоластика, но философия вероятности не только захватывающая тема сама по себе, но и играет огромную роль в практическом применении статистики.

Не ждите консенсуса от всевозможных «экспертов». Они могут соглашаться с математикой вероятностей, но философы и статистики выдвигают разные идеи о том, что на самом деле означают эти неуловимые числа, и активно их обсуждают. Вот некоторые популярные предложения.

• Классическое определение вероятности. Это то, чему нас учат в школе. Оно основано на симметрии монет, костей, перетасованных колод карт и так далее и может быть сформулировано как «отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов, если все исходы равновозможны». Например, вероятность выпадения единицы на правильной кости равна 1/6, потому что возможны 6 исходов, а нас устраивает один. Однако это определение в какой-то степени носит круговой характер, поскольку прежде мы должны уяснить, что значит равновозможны.

• «Перечислительная» вероятность[163]. Предположим, в ящике лежат три белых и четыре черных носка. Если вытаскивать носок случайным образом, то чему равна вероятность, что он белый? Ответ 3/7 можно получить путем простого перечисления всех возможностей. Многие из нас страдали от таких вопросов в школе, и здесь мы фактически имеем дело с расширением рассмотренной выше классической идеи, где требуется случайный выбор из группы физических объектов. Мы уже использовали эту идею при описании случайного выбора элемента данных из общей генеральной совокупности.