Искусство статистики. Как находить ответы в данных

Тогда как нормальное (гауссовское) распределение, описанное в главе 3, требует двух параметров (среднее значение и среднеквадратичное отклонение), у распределения Пуассона только один параметр (он имеет смысл среднего). В нашем конкретном примере это ожидаемое ежедневное число случаев убийства, которое мы принимаем равным 1,41, поскольку таково среднее значение за трехлетний период. Однако нам нужно тщательно проверить, насколько разумно предположение о распределении Пуассона, чтобы мы могли обращаться с количеством убийств так, словно это случайное наблюдение, взятое из пуассоновского распределения с параметром 1,41.

Например, зная это среднее, мы можем использовать формулу для распределения Пуассона или стандартное программное обеспечение, чтобы вычислить, что вероятность совершения пяти убийств в день равна 0,001134. А значит, за 1095 дней можно ожидать 1095 × 0,001134 = 12,4 дней, когда будут наблюдаться ровно пять случаев убийства.

Удивительно, но реальное число дней с пятью убийствами за трехлетний период… 13.

На рис. 8.5 приведено сравнение ожидаемого распределения для ежедневного числа убийств на основании распределения Пуассона и фактического эмпирического распределения для 1095 дней. Соответствие очень хорошее, и в главе 10 я покажу, как формально проверить, оправдано ли предположение о пуассоновском распределении данных.

Рис. 8.5

Наблюдаемое и ожидаемое (при условии распределения Пуассона) ежедневное количество зарегистрированных убийств за 2014–2016 годы в Англии и Уэльсе[167]

Чтобы ответить на вопрос, поставленный в начале этого раздела, мы можем вычислить вероятность семи и более убийств в день, исходя из распределения Пуассона. Она равна 0,07 %, а значит, такое событие можно ожидать в среднем раз в 1535 дней, то есть примерно раз в четыре года. Напрашивается вывод, что при нормальном ходе вещей оно маловероятно, но не невозможно.

Соответствие между этим математическим распределением и эмпирическими данными подозрительно хорошее. Несмотря на то что за каждой трагедией стоит какая-то личная история, и практически любая из них непредсказуема, данные ведут себя так, словно их сгенерировал какой-то известный случайный механизм. Благодаря способности представлять, что могли бы быть (но не были) убиты другие люди, мы наблюдаем один из множества возможных миров, которые могли реализоваться; точно так же как, подбрасывая монету, наблюдаем одну из возможных последовательностей.

Адольф Кетле – бельгийский статистик, социолог и астроном XIX века – одним из первых привлек внимание к потрясающей предсказуемости общей картины, составленной из отдельных непредсказуемых событий. Он был заинтригован появлением нормального распределения при различных явлениях (например, распределении веса новорожденного, как описывалось в главе 3) и предложил идею «среднего человека» (l’homme moyen), который вобрал в себя среднее значение всех характеристик. Кетле развил идею «социальной физики», поскольку регулярные закономерности социальной статистики, казалось, отражали какой-то почти механический процесс, лежащий в ее основе. Так же как случайные молекулы газа, соединяясь, обеспечивают предсказуемые физические свойства, непредсказуемые действия миллионов отдельных людей в совокупности генерируют национальный уровень самоубийств, который из года в год практически не меняется.

К счастью, нам незачем верить, что реальные события обусловлены чистой случайностью (что бы это ни было). Просто предположение о «случайности» заключает в себе всю неизбежную непредсказуемость мира или то, что иногда называют естественной изменчивостью. Поэтому мы установили, что вероятность образует надлежащий математический фундамент как для «чистой» случайности, проистекающей из субатомных процессов, монет, костей и так далее, так и для «естественной» неизбежной изменчивости, проявляющейся в весе новорожденных, уровне выживаемости после операций, результатах экзаменов, количестве убийств и других явлениях, которые нельзя точно предсказать.

В следующей главе мы обратимся к поистине замечательной теме: как объединить эти два аспекта вероятности, чтобы получить строгую основу для формальных статистических выводов.