Искусство статистики. Как находить ответы в данных

На рис. 9.4 отображено наблюдаемое число убийств в Англии и Уэльсе с 1998 по 2016 год, а также 95-процентные доверительные интервалы для «истинного» уровня. Ясно, что, несмотря на неизбежные разбросы между ежегодными числами, доверительные интервалы показывают, что нужно весьма осторожно делать заключения о временных трендах. Например, 95-процентный интервал за 2015–2017 годы для числа 557 простирается от 511 до 603, то есть с существенным перекрытием с доверительным интервалом для предыдущего года.

Рис. 9.4

Число ежегодных убийств в Англии и Уэльсе между 1998 и 2016 годами, а также 95-процентные доверительные интервалы для «истинного» уровня убийств[183]

Итак, как же нам решить, произошло реальное изменение риска стать жертвой убийства или наблюдаемые изменения можно просто отнести к неизбежным случайным отклонениям? Если бы доверительные интервалы не перекрывались, то мы могли бы быть уверены, по крайней мере на 95 %, что изменение реально. Однако это довольно строгий критерий, и нам действительно следует построить 95-процентный интервал для изменения уровня убийств. Если такой интервал будет включать в себя 0, то мы не можем быть уверены в реальности изменения.

Между числом убийств за 2014–2015 и 2015–2016 годы произошло увеличение на 557–477 = 60. Оказывается, 95-процентный доверительный интервал для этого наблюдаемого изменения простирается от – 4 до +124. Это включает 0 (правда, едва-едва). Формально это означает, что мы не можем с 95-процентной уверенностью заключить, что истинный уровень изменился, но, поскольку нулевое значение находится на самом краю доверительного интервала, было бы неразумно утверждать, что изменений вовсе нет.

У доверительных интервалов вокруг числа убийств на рис. 9.4 совершенно иная природа по сравнению с погрешностями, скажем, для безработицы. Последние выражают нашу эпистемическую неопределенность в отношении фактического числа безработных, в то время как интервалы вокруг числа убийств не выражают неопределенности для их фактического количества (мы полагаем, что они подсчитаны верно), а относятся к истинным рискам убийств в обществе. Эти два вида интервалов могут похоже выглядеть и даже использовать одинаковую математику, однако их интерпретации принципиально разнятся.

В этой главе содержался довольно сложный материал, что неудивительно: фактически в ней заложен весь формальный фундамент для статистических выводов, основанных на вероятностном моделировании. Но усилия того стоят, поскольку теперь мы можем использовать эту конструкцию для выхода за рамки простых описаний и оценок характеристик мира и понимания того, как статистическое моделирование может нам помочь ответить на важные вопросы о реальном мироустройстве и таким образом обеспечить прочную основу для научных открытий.

Выводы

• Теорию вероятностей можно использовать для получения распределения для выборочных статистик, из которых могут быть выведены формулы для доверительных интервалов.

• 95-процентный доверительный интервал определяется так: если мы проведем большое количество независимых экспериментов, для которых верны определенные предположения, то в 95 % этих испытаний построенный доверительный интервал будет содержать истинное значение параметра. Нельзя утверждать, что какой-то интервал с вероятностью 95 % содержит истинное значение.

• Из центральной предельной теоремы следует, что для больших выборок выборочное среднее и некоторые другие статистики имеют приблизительно нормальное распределение.

• Погрешности обычно не включают систематическую ошибку, вызванную не стохастическими причинами, – для ее оценивания нужны внешние знания и рассуждения.

• Доверительные интервалы можно вычислять, даже если мы наблюдаем все данные. Они отражают неопределенность параметров базовой метафорической совокупности.

Глава 10. Отвечаем на вопросы и заявляем об открытиях

Рождается ли мальчиков больше, чем девочек?