Исследование психологии процесса изобретения в области математики

В подобных случаях приходится признать, что некоторые части умственного процесса развиваются в столь глубоких слоях бессознательного, что от нашего сознания остаются скрытыми элементы, которые могут быть даже очень важными. Здесь мы вновь подходим к явлению раздвоения личности в том смысле, как его рассматривали психологи XIX века.

История даёт нам даже примеры как бы посредников между этими двумя типами явлений. Сократ был уверен, что его идеи были ему продиктованы его личным демоном, и Нума Помпилий часто консультировался у нимфы по имени Эгерия.

Видимо, можно говорить об аналогичном примере и из области математики. Кардано был не только изобретателем знаменитого «карданова подвеса», но он основательно преобразовал математику изобретением мнимых чисел. Напомним, что такое мнимая величина: алгебраические правила показывают, что квадрат всякого числа, положительного или отрицательного, есть число положительное; следовательно, говорить о квадратном корне из отрицательного числа является просто абсурдом. Кардано сознательно допускает такой абсурд и приступает к действиям над этими «мнимыми» числами.

Всякий объявил бы это чистым безумием, и тем не менее всё развитие алгебры и анализа было бы невозможным без этого отправного положения, которое, естественно, получило в XIX веке твёрдое и строгое обоснование. С тех пор стало возможным утверждать, что наиболее короткий и наилучший путь между двумя истинами в действительной области часто проходит через мнимую область. [Замечательное высказывание! — E.G.A.]

Мы упоминаем о Кардано одновременно с Сократом и Нумой Помпилием, так как некоторые из его биографов сообщают, что были и в его жизни периоды, когда таинственный голос что-то внушал ему. Но свидетельства на этот счёт не лишены противоречий.

ГЛАВА IX ОБЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ, ДАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЮ

Прежде чем попытаться что-либо открыть или попробовать решить определённую задачу, ставится следующий вопрос: что мы будем пытаться открыть? Какую проблему мы попытаемся решить?

Две концепции изобретения

В своём (уже упомянутом) вступительном слове на коллоквиуме в Центре синтеза Клапаред заметил, что существует два вида изобретений: один характеризуется тем, что цель известна и нужно найти средства, чтобы её достигнуть, так что ум идёт от цели к средству, от вопроса к решению; другой, напротив, состоит в том, чтобы открыть факт и затем представить себе, чему он мог бы служить, так что на этот раз ум идёт от средства к цели и ответ доходит до нас раньше, чем вопрос.

И вот, как это ни кажется парадоксальным, чаще всего встречается второй вид изобретений, и он становится всё более общим по мере развития науки. Практическое приложение находят тогда, когда его не ищут, и, можно сказать, что вся программа современной цивилизации зиждется на этом принципе. Когда греки, приблизительно за четыре века до нашей эры, рассматривали эллипс (т. е. плоскую кривую, порождённую движением точки M, сумма расстояний которой MF + MF' от двух данных точек F и F' постоянна), и вывели отсюда многочисленные и замечательные следствия, они не могли думать ни о каком использовании этих открытий. И тем не менее без этих исследований Кеплер не мог бы открыть спустя две тысячи лет законы движения планет и Ньютон не мог бы открыть закон всемирного тяготения.

Результаты более практического характера подчиняются тому же правилу. Первоначально воздушные шары наполняли водородом или светильным газом, что создавало серьёзную угрозу взрыва. В настоящее время мы можем наполнять эти шары негорючими газами. Этот процесс стал возможен по двум причинам: во-первых, потому что сумели узнать, какие вещества содержатся в атмосфере Солнца и какие там не содержатся; и, во-вторых, потому что учёными, в том числе Релеем и Рамзаем, были начаты исследования по определению плотности азота с точностью до 0,0001 вместо точности до 0,001, которая была получена раньше. Оба этих вопроса были изучены прежде, чем предвидели какое бы то ни было их применение.

Но мы должны отметить, что, естественно, и приложения полезны и фактически необходимы для теории, потому что они ставят перед теорией новые вопросы. Можно сказать, что приложения и теория находятся в том же отношении, как лист и дерево: дерево держит лист, но лист питает дерево. Не желая перечислять различные важные физические примеры, напомним лишь, что первая математическая основа греческой науки — геометрия — была вызвана практической необходимостью, как это показывает само её название — «землемерие».