Истина и красота. Всемирная история симметрии

Чашу весов вполне мог склонить вавилонский метод измерения времени. По-видимому, вавилонцы находили удобным делить год на 360 дней, несмотря на то что они были превосходными астрономами и знали, что число 365 выражает длину года точнее, a 365¹/₄ — еще точнее. Их слишком сильно завораживало арифметическое соотношение 360 = 6×60. В действительности в том, что касалось указания времени, вавилоняне забывали о правиле, что перенесение символов на одну позицию налево означает умножение на шестьдесят, а вместо этого умножали на шесть, так что выражение, которое должно было бы обозначать 3600, в действительности интерпретировалось как 360.

Привязка к числам 60 и 360 дошла до наших дней — это привычные нам 360 градусов в окружности (по одному градусу на один вавилонский день), а также 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Старые культурные условности обладают удивительной живучестью. Меня особенно умиляет, как в наш век потрясающей компьютерной графики создатели фильмов датируют свои произведения римскими числительными.

Все это, за исключением знака «нуль», Набу-Шамаш и должен был проходить на начальных этапах своего обучения. Ему предстояло научиться ловко и быстро наносить на сырую глину тысячи маленьких клинышков. И подобно тому, как современные школьники не без усилий осваивают переход от целых чисел к обычным и десятичным дробям, так и Набу-Шамаш должен был рано или поздно встретиться с вавилонским методом записи таких чисел, как одна вторая или одна треть, или более сложных долей единицы, жесткая необходимость в которых диктовалась реальностями астрономических наблюдений.

Чтобы по полдня не выписывать клинья, исследователи представляют вавилонскую систему счисления, используя смесь старых и новых обозначений. Вместо групп из клиньев записываются десятичные числа, разделенные запятыми. Так что последняя группа на рисунке запишется как 1,3,12. Такое соглашение экономит массу дорогостоящего типографского набора, а при этом удобно для чтения, так что мы будем поступать также.

Как же записал бы вавилонский писец число «одна вторая»?

В нашей арифметике эта задача решается двумя различными способами. Число или записывается как дробь ¹/₂, или же используется знаменитая десятичная запятая, с помощью которой число представляется как 0,5. Обозначения в виде обыкновенной дроби более интуитивны и исторически возникли раньше; десятичные же обозначения несколько сложнее охватить своим умом, однако они удобнее при вычислениях, поскольку представляют собой естественное расширение правила «позиция-значение», действующего для целых чисел. Символ 5 в числе 0,5 означает «5, деленное на 10», а в числе 0,05 — «5, деленное на 100». Перемещение символа на одну позицию влево умножает его на 10; перемещение на одну позицию вправо делит его на 10. Все очень внятно и логично.

В результате десятичная арифметика по сути такова же, как арифметика целых чисел, за исключением того факта, что нужно следить за положением десятичной запятой.

Вавилоняне использовали ту же идею, но с основанием 60. Дробь ¹/₂ надо было выразить как дробь ¹/₆₀, взятую некоторое число раз. Очевидно, правильное число — ³⁰/₆₀, так что они записывали число «одна вторая» как 0;30, где современные исследователи применяют точку с запятой для указания на «шестидесятиричную запятую», которая в клинописных обозначениях опять же представлялась пробелом. Вавилоняне могли выполнять довольно сложные вычисления: например, известное им значение квадратного корня из 2 составляло 1;24,51,10, что отличается от истинного значения менее чем на одну стотысячную[4]. Они успешно использовали эту точность как в теоретической математике, так и в астрономии.

Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.