Истина и красота. Всемирная история симметрии

Последнее, очень полезное правило — назовем его законом деления, хотя в учебниках вы найдете его под именем «существование мультипликативного обратного» — утверждает, что всегда можно поделить любое число на любое ненулевое число. Имеются веские основания для запрета деления на нуль; основная причина состоит в том, что это действие редко бывает осмысленным.

Мы уже видели, что можно соорудить алгебру троек чисел, используя «очевидное» умножение. Эта система удовлетворяет законам коммутативности и ассоциативности. Но не закону деления.

Великий взлет мысли Гамильтона, произошедший после долгих часов бесплодных поисков и вычислений, привел к следующему осознанию: можно образовать новую числовую систему, в которой и закон ассоциативности, и закон деления выполнены, но необходимо пожертвовать законом коммутативности. Но даже тогда подобное нельзя сделать с тройками вещественных чисел. Надо использовать четверки. Нет «разумной» трехмерной алгебры, но имеется довольно приемлемая четырехмерная. Это единственная алгебра такого типа, и до идеала ей не хватает только одного — закона коммутативности.

Важно ли это? Ход мыслей Гамильтона был надолго заблокирован твердым убеждением в необходимости закона коммутативности. Все изменилось в одно мгновение, когда, чем-то внезапно вдохновленный, он понял, как перемножать четверки чисел. На календаре было 16 октября 1843 года. Гамильтон шел с женой по тропинке вдоль Королевского Канала, направляясь на собрание престижной Королевской Ирландской академии в Дублине. Его бессознательное, должно быть, кружило вокруг задачи о трехмерной алгебре, потому что внезапно его пронзило озарение. «Там и тогда я почувствовал гальванизирующий ток от приближающейся мысли, — писал он позднее в письме, — и искры, произведенные им, представляли собой фундаментальные уравнения между i, j, k, причем в точности такие, какие я с той поры всегда и использую».

Гамильтон находился под таким впечатлением, что немедленно нацарапал формулы на каменной кладке моста Брумбридж. Мост сохранился до наших дней, но нацарапанное на нем — нет, хотя там и имеется памятная доска[42]. Формулы

i² = j² = k² = ijk = −1

также пережили своего создателя.

Это очень симпатичные формулы, обладающие высокой симметрией. Но читателю, должно быть, не терпится спросить — при чем же здесь четверки чисел?

Комплексные числа можно записать как пары (x, y), хотя обычно их записывают в виде x +iy, где i = √−1. В том же духе числа, о которых говорил Гамильтон, можно записывать или в виде четверок (x, у, z, w), или как комбинацию x + iу + jz + kw. Формулы Гамильтона относятся ко второму способу обозначений; если же у вас формальное умонастроение, то вы, возможно, этой записи предпочтете представление в виде четверок чисел.

Гамильтон назвал свои новые числа кватернионами. Он доказал, что они подчиняются закону ассоциативности и — замечательным, как стало ясно позднее, образом — закону деления. Но не закону коммутативности. Из правил умножения кватернионов следует, что ij = k, но ji = −k.

Система кватернионов содержит экземпляр комплексных чисел — кватернионы вида x + iy. Из формул Гамильтона видно, что −1 имеет не просто два квадратных корня i и −i, а кроме того, еще и j, −j, k и −k. На самом деле в кватернионной системе имеется бесконечно много различных квадратных корней из минус единицы.

Таким образом, вместе с потерей закона коммутативности мы также потеряли правило, что квадратное уравнение имеет два решения. По счастью, ко времени изобретения кватернионов основное внимание в алгебре сместилось в сторону от решения уравнений. Преимущества кватернионов существенно перевесили их недостатки. К ним просто требовалось привыкнуть.

В 1845 году Томас Дизни заехал к Гамильтону вместе со своей дочерью Кэтрин — юношеским увлечением Уильяма. К тому моменту она успела потерять первого мужа и выйти замуж вторично. Встреча разбередила старую рану, и зависимость Гамильтона от алкоголя сделалась более серьезной. Один раз он напился и выставил себя таким полным дураком на научном обеде в Дублине, что после этого зарекся пить и в течение последующих двух лет пил только воду. Однако когда астроном Джордж Эйри начал посмеиваться по поводу его воздержания, Гамильтон принялся в ответ поглощать алкоголь в усиленных количествах. С того времени он стал хроническим алкоголиком.

Два его дяди скончались, а друг и коллега совершил самоубийство; затем Кэтрин принялась писать ему письма, что только усугубило его депрессию. Она быстро поняла, что ее действия не подобают респектабельной замужней женщине, и вяло попыталась покончить с собой, а затем разъехалась с мужем и перебралась к матери.