Истина и красота. Всемирная история симметрии

Гамильтон, возможно, преувеличивал практическую роль кватернионов и выжимал из них фокусы, к которым они в действительности были малопригодны, но его вера в их важность начинает получать серьезные подтверждения. Кватернионы возымели странную привычку возникать в таких местах, где их появление менее всего ожидается. Одна из причин состоит в их единственности. Их можно охарактеризовать несколькими разумными и относительно простыми свойствами — некоторой выборкой из «законов арифметики», опустив всего один важный закон, — и они составляют единственную математическую систему, обладающую этим списком свойств.

Это утверждение требует пояснений.

Единственная числовая система, с которой знакома большая часть населения нашей планеты, — это вещественные числа. Их можно складывать, вычитать, умножать и делить, причем результат всегда будет вещественным числом. Разумеется, деление на нуль не допускается, но помимо этого необходимого ограничения можно применять весь набор арифметических операций, никогда при этом не покидая систему вещественных чисел.

Математики называют такую систему полем. Имеется много других полей, таких как поле рациональных чисел и поле комплексных чисел, но поле вещественных чисел является специальным. Это единственное поле с еще двумя свойствами: оно упорядочено и полно.

«Упорядочение» означает, что числа выстраиваются в соответствии с линейным порядком. Вещественные числа расположены вдоль прямой линии — отрицательные слева, а положительные справа. Имеются и другие упорядоченные поля, например поле рациональных чисел, но в отличие от других упорядоченных полей вещественное поле является также полным. Это дополнительное свойство (полная формулировка которого носит довольно технический характер) ответственно за существование таких чисел, как √2 и π. По сути свойство полноты говорит нам, что бесконечные десятичные дроби имеют смысл.

Можно доказать, что вещественные числа составляют единственное полное упорядоченное поле. Этим и определяется их центральная роль в математике. Они дают единственный контекст, в котором можно выполнять арифметические операции, сравнение «больше чем», а также основные операции анализа.

Комплексные числа представляют собой расширение вещественных за счет включения чисел нового типа — квадратного корня из минус единицы. Но цена за возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел состоит в потере упорядочения. Комплексные числа являются полной системой, но они заселяют плоскость, а не выстраиваются в единую упорядоченную последовательность.

Плоскость двумерна, а 2 — конечное целое число. Комплексные числа — это единственное поле, которое содержит вещественные числа и имеет конечную размерность (и которое при этом отлично от самих вещественных чисел, имеющих размерность единица). Это говорит о том, что и комплексные числа тоже единственны. Для многих важных целей комплексные числа оказываются единственным средством, которое позволяет добиться желаемого. Их единственность делает их незаменимыми.

Кватернионы возникают при попытке расширить комплексные числа за счет увеличения размерности (оставляя ее, тем не менее, конечной) с сохранением при этом максимально возможного числа законов алгебры. Законы, которые мы хотим оставить, — это обычные свойства сложения и вычитания, большая часть свойств умножения и возможность деления на все, кроме нуля. На этот раз жертву приходится приносить более серьезную; это-то и доставило Гамильтону столько терзаний. Надо выкинуть закон коммутативности умножения. Этот брутальный факт надо просто принять — и двигаться дальше. Когда вы к нему привыкнете, вы зададитесь вопросом, а почему вообще вы ожидали, что закон коммутативности будет выполнен во всех случаях, а одновременно начнете воспринимать тот факт, что он выполнен для комплексных чисел, как небольшое чудо.

Любая система с таким набором свойств, неважно, коммутативная или нет, называется алгеброй с делением.

Вещественные числа и комплексные числа — тоже алгебры с делением, потому что мы не настаиваем на отказе от коммутативности умножения, мы просто не требуем выполнения этого свойства. Каждое поле является алгеброй с делением. Но некоторые алгебры с делением не являются полями, и первыми из таких объектов были открыты кватернионы. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что система кватернионов также единственна. Кватернионы являются единственной конечномерной алгеброй с делением, которая содержит вещественные числа и не совпадает с вещественными или комплексными числами.

Здесь просматривается любопытная закономерность. Размерности вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов равны 1, 2 и 4. Это подозрительно похоже на начало последовательности степеней двойки. Естественным продолжением были бы 8, 16, 32 и т.д.

Имеются ли интересные алгебраические системы в этих размерностях?