История Древнего мира

Это уравнение называют логистическим, а его решение

N = K/((K/N-1)exp(-rt)+1)

—  логистической кривой. На начальных участках логистическая кривая ведет себя подобно экспоненциальной кривой, но при приближении к величине К она довольно резко поворачивает к асимптоте N(t) = K — популяция вступает в период экологического равновесия, характеризующийся постоянным голодом.

В общепринятой математической модели считается, что смертность возрастает прямо пропорционально заполнению экологической ниши V. Биологические эксперименты показали, что логистическая модель достаточно хорошо описывает динамику роста различных популяций животных. В 20-х годах было обнаружено, что ее можно применять также и для анализа роста населения в некоторых странах. Например, логистической кривой с К = 60 млн. описывается рост населения китайской империи Хань в I-II вв.н.э (см. рис.).

Конечно, реальные данные переписей могут давать отклонения от теоретических расчётов — это связано с действием случайных факторов, таких, как войны и засухи, однако, в целом, теория вполне согласуется с реальностью. Период, когда логистическая кривая идёт вдоль асимптоты, мы называем Сжатием — это время голода, когда голодающие крестьяне за бесценок продают свои наделы и уходят в города; в это время разрастается помещичья собственность, а государство переживает тяжёлый кризис. В конце концов, голод поднимает народ на восстание, и начинается гражданская война, приводящая к демографической катастрофе и гибели большой части населения. Катастрофа завершает ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ ЦИКЛ; гражданская война приводит к истреблению помещиков и рождению социалистической Империи — государства, которое наделяет крестьян землёй и пытается поддерживать социальную справедливость. Затем начинается новый демографический цикл, население начинает расти, логистическая кривая снова приближается к асимптоте, и снова приходит голод. Крестьяне, несмотря на запреты, продают за бесценок наделы, снова разрастаются помещичьи усадьбы, а монархия оказывается бессильной отвратить приближающуюся катастрофу. Новая революция порождает новую Империю — может быть, лучше организованную и более справедливую, — но затем всё повторяется снова и снова.

Так выглядит история с точки зрения математики.