История философии: Учебник для вузов

К числу отдельных математических разработок пифагорейцев относятся: 1) теория пропорций: по свидетельству древних, ранним пифагорейцам были знакомы арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции; 2) теория четных и нечетных чисел, а именно следующие положения: сумма четных чисел будет четной, сумма четного количества нечетных чисел будет четной, сумма нечетного количества нечетных чисел будет нечетной, четное число минус четное число есть четное, четное число минус нечетное число есть нечетное и др.; 3) теория «дружественных» и «совершенных» чисел: первые — это те, у которых сумма делителей одного равна другому (так, например, число 284 равняется сумме делителей числа 220, а именно: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, и наоборот), вторые — числа, равные сумме своих делителей (6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14); 4) доказательства целого ряда геометрических теорем, в том числе известной «теоремы Пифагора»: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах; 5) построение пяти правильных многогранников: пирамиды, куба, додекаэдра, октаэдра и икосаэдра; 6) открытие иррациональности (или же, в геометрическом выражении, открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной), т. е. таких отношений, которые не выражаются целыми числами: впоследствии (в Новое время) это открытие привело к созданию геометрической алгебры.