История философии: Запад-Россия-Восток. Книга 3: философия XIX — XX в.

Проблемы оснований математики. Крушение планов всеохватывающего философского синтеза знаний на базе гегельянства побудило Рассела к поиску иного поля приложения сил. На рубеже XIX и XX в. он обращается к исследованию оснований математики. В процессе обучения в университете математика предстала перед Расселом как набор замысловатых технических приемов, которые нужно усвоить, не требуя обоснования. Позднее он вспоминал: не зная правильных доказательств фундаментальных теорем для исчисления бесконечно малых, учителя старались убедить его принять на веру формальные трюки математического анализа (дифференциального и интегрального исчислений). Из-за шаткости начал вся математика теряла образ ясной и логичной системы задач и теорем. О серьезных исследованиях начал математики, которые велись на протяжении всего XIX в. и дали впечатляющие результаты, Рассел с опозданием узнал лишь в 1900 г. Труды К. Вейерштрасса и Г. Кантора по теории чисел и теории множеств открыли ему проблематику оснований математики, занимавшую в это время умы ведущих теоретиков. Параллельно с новым погружением в математику он под влиянием Лейбница существенно переосмысливает собственные философские позиции, наконец, на международном конгрессе по философии, логике, истории науки (Париж, 1900), знакомится с математической логикой. Аналитическая мощь идей и технических приемов новой логики произвели на Рассела сильное впечатление. Все это определило его научные интересы на следующие десять лет.

К концу XIX в. были достигнуты большие успехи в систематизации и строгом обосновании математики и казалось, что эта трудная работа (длившаяся уже целое столетие) близка к завершению. Математиками владело убеждение, что грандиозное здание математического анализа “приобретает несокрушимую крепость, оказываясь прочно заложенным и строго обоснованным во всех своих частях”¹⁷. Но возникло неожиданное препятствие: в самом фундаменте математики выявились логические противоречия. Первый парадокс, относившийся к теории трансфинитных (бесконечных) порядковых чисел, стал достоянием математиков в 1897 г. За этим последовало открытие целого ряда других парадоксов¹⁸. Под ударом оказалась и логико-математическая система Г. Фреге, в которой было обнаружено противоречие, известное как “парадокс класса классов” (Рассел, 1902). Попытки спасти положение не давали результата: как бы в насмешку над математиками обнаруживались все новые и новые парадоксы. Ситуация стала обескураживающей. Вот как это выразил крупнейший математик первой половины XXв. Д. Гильберт: “...состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?”¹⁹. Напрашивался вывод: логика в том интуитивном виде, какой она имела в конце прошлого столетия, не годится в качестве критерия строгости математического доказательства²⁰. Кризис оснований математики потребовал тщательного анализа логики рассуждения, логических механизмов действия языка.

У истоков современного логического исследования языка стояли Фреге и Рассел. Именно они задали вопросы, поиски ответов на которые потребовали так много усилий логиков, лингвистов, философов в последующие десятилетия.

Б. Рассел и А. Уайтхед в 1900 г. приступили к исследованию оснований математики, которое после десяти лет напряженного труда увенчалось трехтомным сочинением “Начала математики” (Principia Mathematica — сокращенно РМ). Авторы стремились осуществить сформулированную Г. Фреге программу логицизма (доказать, что чистая математика есть ветвь логики), исключив, однако, закравшиеся в его труд логические противоречия. Поставленная задача была успешно решена. Для многих проблем обоснования математики, которые прежде исследовались достаточно умозрительно, были найдены строгие решения с помощью логико-математических методов. Труд РМ был воспринят современниками как математический, логический и философский триумф. Математические проблемы тесно переплелись в нем с проблемами логико-философскими, решение которых выпало на долю Рассела.