История и философия искусства

6. Пространство непрерывно и связно. Первоначальное понятие о непрерывности дается указанием на возможность беспредельного деления всякого геометрического образа в пространстве, а о связности — указанием на несуществование в пространстве отдельных, друг от друга уединенных областей, между собою не координированных и не имеющих беспредельного множества путей взаимного сообщения. Однако эти предварительные указания очень недостаточны, и, ограничиваясь ими, мы далеко не выразили бы предносящегося общечеловеческому сознанию понимания непрерывности и связности. — Несравненно более строгая формулировка этого понимания принадлежит Георгу Кантору[186]. Она обнимает оба указанные свойства одним термином Continuum, с тем чтобы расчленить его несколько по–новому. Определение Кантора: «Continuum есть совершенное и связное множество точек». Это тонкое определение, но так как и оно, равно как и последующие усовершенствования его, все‑таки не адекватно интуиции непрерывности и связности, здесь было бы неуместно обсуждать тонкости и контроверзы теории множеств. —В порядке изложения следует отметить лишь, что и непрерывность и связность пространства отнюдь не вытекают аналитически из его понятий и следовательно должны быть доказаны особо. При этом, чем тоньше и глубже проводится логический анализ Continuum'a, тем более частным случаем оказывается пространство евклидовской геометрии. И значит, тем сложнее и потому маловероятнее условия его существования и тем труднее доказательство, что пространство в самом деле таково. Вообще говоря, нет оснований ждать, чтобы пространство имело своими свойствами непрерывность и связность. Из всех возможных случаев непрерывное и связное пространство было бы неожиданной и величайшей редкостью.

7. Пространство трехмерно. Обычное разъяснение трехмерности делается с ссылкою на возможность провести чрез каждую точку пространства три, — не более и не менее как три, —взаимно перпендикулярные прямые. Но такое разъяснение предполагает ряд других свойств, которые в существе дела не связаны необходимо со свойством трехмерности. Поэтому правильнее будет охарактеризовать трехмерность пространства как необходимость и достаточность для точек его определяться тремя, — не более и не менее как тремя, —независимыми друг от друга данными, каковы бы они ни были. Если три данные устанавливают точку в пространстве, два данных или одно недостаточны, так как оставляют возможность бесконечного выбора, а четыре, или большее число данных, если они независимы друг от друга, оказываются, вообще говоря, несовместимыми и друг друга исключающими, то такое пространство обладает свойством трехмерности, если же этого нет, то нет причин называть пространство трехмерным. От других вышеуказанных свойств трехмерность независима и потому должна быть доказываема особо.