История и философия искусства

Изложим[94] же вкратце принцип двойственности в его последовательных расширениях. Геометрические образования даются в современной геометрии, как известно, не в виде наглядных образов, а логическими определениями, причем эти последние строятся не по Аристотелю, чрез ближайший род и видовую разность, а путем соотношений и связей некоторых исходных логических символов. Таким образом, наглядное различие геометрических образований нисколько не обеспечивает различия соответственных определений. А если так, то далее два тождественных определения или две тождественные системы определений во всем дальнейшем ходе геометрической мысли будут давать вполне тождественные выводы, хотя эти выводы и будут относиться к двум разнородным наглядным областям. Они будут звучать по–разному, будучи выражены различно, но будут тождественны в своем формально–логическом строении; это последнее обстоятельство выразится в тождестве логических формул, выражающих в знаках тот и другой род выводов. Коль скоро первоисходные соотношения тождественны, а формальные правила обращений с этими формулами, правила чисто логические, одни и те же, то, как бы далеко ни были проведены наши выводы, мы заранее уверены во всегдашнем и полном параллелизме обоих рядов. А раз так, —нам нет надобности дважды проделывать один и тот же труд и выводить порознь тот и другой ряд, гораздо проще развернуть какой‑нибудь один из рядов и затем заместить в нем исходные наглядные образцы и их основные соотношения соответствующими им — из другого ряда. То, что будет получено таким замещением, окажется правильным, в этом мы уверены заранее.

^{Вообще говоря, в каждой данной области можно ожидать несколько таких рядов; по крайней мере эти ряды будут появляться и возрастать численно по мере осложнения выводов и соответственных геометрических образований. Но в пространстве известны два таких ряда, восходящие к самым начаткам и первооснованиям геометрии.}

XXXV

Эти два ряда коренятся в принципе двойственности. А именно, на плоскости прямая линия и точка, со стороны формальных соотношений, ведут себя вполне симметрично и вполне заменяют друг друга. Формально–логически это связано с арифметическим фактом, тождественным у точки и у прямой. Каждый из этих элементов, в единичном числе, точно устанавливается или дается двумя элементами другого рода. Две точки вполне определяют прямую линию, а две прямые вполне определяют точку. Кроме того, прямая есть геометрическое место бесчисленного множества лежащих на ней точек, а точка — геометрическое место бесчисленного множества проходящих чрез нее прямых. Каждая точка прямой может быть линейно выражена чрез какие‑нибудь две из них; точно так же каждая прямая пучка может быть выражена тоже линейно, чрез какие‑либо две прямые того же пучка. Таким образом, всякое логическое соотношение, или логическая функция точек и прямых, если оно истинно, не изменит своей истинности после замены знака точки знаком линии и знака линии знаком точки: так как основные свойства прямой и точки формально тождественны, то, следовательно, в любом сложном соотношении точек и линий формально ничего не изменится, если мы под знаком точки и знаком линии везде будем разуметь обратное тому, что разумелось ранее. Напротив, если так преобразуемое соотношение было ложно, то и после преобразования оно не может стать истинным.