История и философия искусства

Полученные таким образом формальные соотношения, или геометрия в знаках, есть в сущности дипломатический язык; будучи вполне истинным, он, однако, избегает ответственности за наглядную сторону дела и высказывает всякое положение надвое, равно угождая как принимающим точку за исходный элемент плоскости, а прямую за производный, так и их противникам, видящим изначальность в линии, а производность —в точке. По этому самому эта дипломатическая речь на обычный язык наглядных образов может быть в каждом ее высказывании переводима двояко, и притом совсем по–разному. И тот и другой перевод будут каждый вполне истинен, но между собою, как теорема о наглядных образах, не будут иметь ничего общего. Таким образом, каждая теорема может быть удвоена без малейшего труда, — нельзя же считать за труд механическую замену нескольких слов другими, согласно точно определенным требованиям. Попросту говоря, к формально–логическому построению геометрии должен быть еще приложен словарик в десятка полтора–два слов (из них особенно потребны слова первого десятка). Словарь этот располагается в три столбца: первый столбец содержит буквенные символы и знаки логистики, второй — соответствующие тем и другим понятия точечной геометрии, а третий —соответственные понятия геометрии линейной. Тогда любое высказывание на одном из трех языков может быть без труда переведено на оба других языка: формально–логическое соотношение знаков протолковано на языке наглядных точечных или наглядных линейных образований, а высказывание той или другой наглядной области превращено в соответственное высказывание другой области или же возведено к своей формально–логистической схеме.

Этот словарик, если оставить сейчас нас мало занимающий столбец языка логистического, построен примерно так:

Точечная геометрия	Линейная геометрия
точка	прямая
прямая	точка
лежит	проходит
соединяет	пересекает
проходит	лежит
пересекает	соединяет
трехугольник	трехсторонник
трехсторонник	трехугольник
вершина	сторона
сторона	вершина

^{Чтобы пояснить примером, как именно делаются эти переводы, возьмем четыре точки.}

Соединяя их всеми возможными способами, мы получим шесть прямых: четыре стороны и две диагонали четырехугольника. Если теперь провести прямую, соединяющую точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, то диагонали засекут на этой прямой две точки, и они, как доказывается, будут гармоническими в отношении точек пересечения сторон. Из этой теоремы нетрудно вывести и двойственно сопряженную. А именно: возьмем четыре прямые (вместо четырех точек) и все шесть точек их взаимного пересечения (вместо шести прямых их соединения). Соединим теперь прямыми (вместо: возьмем точки пересечения) противоположные вершины: они пересекутся в одной точке (вместо соединения точек одною прямою). Тогда две другие точки пересечения противоположных сторон вместе с этой точкой определят две прямых (вместо пересечения в двух точках). Эти две прямые вместе с прежними диагональными прямыми образуют пучок, и пучок этот будет гармоническим.