История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Самый выдающийся труд в греческой математике — это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» — не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» — это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.

«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка — это то, что не делится на части», «линия — это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково — как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.

В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта — отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое построение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, — это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины — самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.