История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта двойная проблема со свойствами функций и чисел была не случайной. Если какая-нибудь функция могла быть выражена как бесконечный ряд, скажем ряд Фурье, то было важно проверить, что этот ряд сходится к функции при каждом значении х— так называемая поточечная сходимость. Поскольку проверять это для каждого ряда довольно утомительно, предлагались различные критерии сходимости, каждый из которых требовал очень четкого понимания идеи бесконечной последовательности чисел, сходящейся к определенному числу. Коши, с его эллинистическим отвращением к бесконечностям, соскользнул в закольцованное доказательство, в одном месте определяя иррациональное число как предел последовательности рациональных чисел, а в другом выводя рациональные числа из иррациональных. Карл Вейерштрасс попытался освободить зависимость иррациональных чисел от пределов и постарался определить их не как предел последовательности, но как саму последовательность.

Тем временем Бернхард Риман переформулировал понятие интеграла в то, что сегодня преподается в школе. Функция Дирихле, упомянутая выше, все еще не имела интеграла в определении Римана. Приняв участие в собирании диких функций, Риман нашел еще одну, свою собственную, прерывистую в бесконечном числе точек, однако для этой функции интеграл не только существует, но и определяет непрерывную функцию, которая, в свою очередь, однако, не в состоянии иметь производную для того же самого бесконечного числа точек. Фундаментальная теорема дифференциального и интегрального исчислений была еще раз подвергнута сомнению.

Становилось ясно, что необходимо более четкое понимание того, что же на самом деле представляет собой иррациональное число, и, следовательно, было необходимо более ясное определение действительного числа. К 1850-м годам уже знали, что действительные числа можно разделить на два типа двумя различными способами: на рациональные и иррациональные числа, а также на алгебраические и трансцендентные. Рациональные числа — это любые числа вида m/n,то есть любая положительная или отрицательная дробь, включая целые числа и ноль. Иррациональные числа — это числа, которые не являются рациональными, вроде 2и . Алгебраические числа — это те, которые служат решениями конечных полиномиальных уравнений с целочисленными коэффициентами, то есть все числа, включая числа типа 2,но не . Трансцендентными были числа, которые не были алгебраическими. Мы видим, что иррациональные и трансцендентные числа просто определяются тем, чем они не являются, и было непонятно, есть ли у них хоть какие-то специфические собственные свойства. В 1872 году была опубликована ключевая работа по этой теме — труд Рихарда Дедекинда (1831–1916) и Георга Кантора (1845–1918). В том же году началась их долгая дружба. Оба занимали относительно небольшие должности — Дедекинд в Политехническом института своего родного города Брансвик, Кантор — в Университете Галле, — но их работа оказала огромное влияние на весь математический мир.

Если множество действительных чисел непрерывно, Дедекинд задался вопросом, в чем разница между рациональным и иррациональным числами. Лейбниц, например, считал, что «сплошность» точек на линии связана с их плотностью, то есть для любых двух точек всегда есть некая третья, расположенная между ними. Однако рациональные числа также имеют это свойство, но тем не менее они не непрерывны. Вместо того чтобы продолжать искать способы склеивать точки, чтобы сформировать континуум, Дедекинд встал на противоположную точку зрения и стремился определить непрерывность в терминах определения разрывов в линейном сегменте. Представьте себе числовую ось как бесконечно длинную твердую трубу, набитую упорядоченными рациональными числами. Разрыв разрежет трубу на две части, обозначим их А и В. Образуются два торца трубы, конечные точки А и В. Глядя на открытый торец, мы можем прочитать число. Если на торце не видно никакого числа, то мы сделали разрез на иррациональном числе. Дедекинд определил иррациональные числа в терминах этих множеств А и В, а не в виде последовательности. Таким образом, свойства непрерывности или пределов могли быть формализованы в терминах арифметики, а не в виде остаточных геометрических понятий. Бертран Рассел позже отметил, что каждое из множеств А и В определено через другое и поэтому логически необходимо только одно из них, так что иррациональное число можно определять только в терминах множества А (или В).