История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное — правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения — вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам — это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство — китайский перевод индийского текста, — что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.

Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков — abc — где а равно 2. Таким образом, задача заключается в том, чтобы вычислить значения b и с. Объяснение процедуры вычисления, согласно Лю Хуэю, исходит из геометрии. Квадрат анализируется специфическим способом. Установив, что корень больше 200, мы удаляем из схемы квадрат 200 х 200, оставляя L-образную форму, называемую «гномоном». Затем мы находим максимальное значение десятков, которое вписывается в гномон. Это число 60, и в результате возникает следующий L-образный гномон. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Если ответ — не целое число, процесс или продолжается до получения необходимого количества десятичных значений, или остаток дается в виде дроби. Та же самая техника используется для вычисления кубического корня — куб расчленяется аналогичным образом.

Эта геометрическая техника эквивалентна использованию биномиального разложения, числовые коэффициенты которого могут быть выражены тем, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Этот алгебраический метод активно применялся в одиннадцатом столетии и, возможно, еще ранее, позволяя китайцам вычислить корень любой n-й степени, какой им было нужно. И снова неясно, был ли треугольник Паскаля получен из индийских источников или открыт самостоятельно. Каждый шаг извлечения квадратного корня требует решения квадратного уравнения. Аналогично извлечение корней более высокого порядка, например кубического корня, требует решения уравнений более высокого порядка, или полиномиалов. Соответственно подобный метод мог использоваться для того, чтобы решить любой полиномиал без применения геометрической структуры гномонов. Как и в других культурах, одного корня было всегда достаточно, и мы не можем сказать, знали ли китайцы о том, что полиномиал мог иметь несколько решений. Уравнения не записывались в терминах переменной воде «х», они выражались только в терминах числовых коэффициентов, которые выкладывались на вычислительной доске. Похоже, китайцев не интересовало, конечно или бесконечно решение, — алгоритм был одинаково эффективен в обоих случаях, и вычисление заканчивалось в тот момент, когда достигалась требуемая точность.

В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.