Читаем История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных полностью

«Ариабхатия» состоит из 123 стихов. Трактат начинается с восхваления богам, а затем в нем описываются алгоритмы для вычисления квадратов, кубов, квадратных и кубических корней. В работе приведены 33 правила по арифметике, алгебре и тригонометрии на плоскости. Семнадцать правил посвящены геометрии, 11 — арифметике и алгебре. В десятом правиле приводится значение π как отношение 62,832:20,000, что эквивалентно 3,1416, — это самое точное значение, вычисленное в то время, и оно останется таковым еще тысячу лет. Трактат включает также таблицу синусов. В отличие от Птолемея, использовавшего в качестве основной меры хорды, индусы использовали полухорды и выражали их в радиусах. Поэтому, за исключением постоянного множителя, индийские синусы намного ближе к нашим современным. Разделив четверть окружности на 24 равные части и начав с нескольких базовых результатов и формул, вроде sin 30° = 1/2, Арьябхата составил таблицу синусов для углов от 3°45′ и выше. Ему также приписывают создание формулы, позволяющей приблизительно оценить синус любого угла без использования таблицы с точностью до нескольких десятичных знаков.

Позже Брахмагупта создал формулу интерполяции, используя арифметический метод разностей, чтобы найти синусы промежуточных углов. В дальнейшем тригонометрию развивали арабы на севере и математики Кералы на юге. Арабы, а затем и западный мир познакомились с индийской математикой и астрономией отчасти благодаря переводу «Брахма-спхута-сиддханты».

Брахмагупта основал ставшую широко известной школу в Удджайне. Его «Брахма-спхута-сиддханта» — самый полный трактат по астрономии того времени. В некоторых разделах этого труда производится анализ неопределенностей, взятых из календарных вычислений и астрономии. Арьябхата решал линейные неопределенные уравнения, используя алгоритм Евклида, описанный в «Началах», — сокращение коэффициентов до тех пор, пока уравнения не будет удобно решать методом проб и ошибок. Брахмагупта приводит алгоритм для решения в целых числах уравнений вида ах2 ± с = у2, которые геометрически представляют собой гиперболы. В Европе эта формула получила известность под названием «уравнение Пелля»[6].

Позднее знаменитый индийский математик Бхаскара (Бхаскарачарья) (1114 — ок. 1185) улучшил эти методы, создав «циклический» метод, известный как «чакравала» (метод нахождения наименьшего нетривиального решения). Он привел решение известной задачи — уравнения 61х2 + 1 2. Это та самая задача, над которой Пьер Ферма бился в семнадцатом столетии и решение которой было найдено Жозефом Луи Лагранжем лишь сто лет спустя. Но даже и в восемнадцатом веке алгоритм «чакравала» был намного более эффективен. Наименьшие решения: х = 226 153 980, у = 1 766 319 049.

Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.

Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.

Перейти на страницу:

Все книги серии ЛУЧ - Лучшее увлекательное чтение

Удивительные истории о существах самых разных
Удивительные истории о существах самых разных

На нашей планете проживает огромное количество видов животных, растений, грибов и бактерий — настолько огромное, что наука до сих пор не сумела их всех подсчитать. И, наверное, долго еще будет подсчитывать. Каждый год биологи обнаруживают то новую обезьяну, то неизвестную ранее пальму, то какой-нибудь микроскопический гриб. Плюс ко всему, множество людей верят, что на планете обитают и ящеры, и огромные мохнатые приматы, и даже драконы. О самых невероятных тайнах живых существ и организмов — тайнах не только реальных, но и придуманных — и рассказывает эта книга.Петр Образцов — писатель, научный журналист, автор многих научно-популярных книг.

Петр Алексеевич Образцов

Детская образовательная литература / Биология, биофизика, биохимия / Биология / Книги Для Детей / Образование и наука
Что день грядущий нам готовил?
Что день грядущий нам готовил?

Книга Пола Майло впервые рассказывает о том, что было «видно» в нашем 21 веке из века 20-го. Это поразительная коллекция предсказаний, сделанных учеными, экспертами и публицистами 20 века, — предсказаний удачных (их не очень много), скандальных (умеренно много), смешных (весьма много) и… неудачных (подавляющее большинство). Но главное — как обнаружил автор, «предсказания позволяют оценить не только и не столько даже будущее, сколько настоящее».Пол Майло — американский журналист, лауреат нескольких профессиональных премий. Сотрудничал с «Уолл-стрит джорнал», «Бостон глоуб» и многими другими крупными изданиями. «Что день грядущий нам готовил?» — его первая книга.

Пол Майло

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Прочая научная литература / Научпоп / Образование и наука / Документальное
Тринадцать вещей, в которых нет ни малейшего смысла
Тринадцать вещей, в которых нет ни малейшего смысла

Нам доступны лишь 4 процента Вселенной — а где остальные 96? Постоянны ли великие постоянные, а если постоянны, то почему они не постоянны? Что за чертовщина творится с жизнью на Марсе? Свобода воли — вещь, конечно, хорошая, правда, беспокоит один вопрос: эта самая «воля» — она чья? И так далее…Майкл Брукс не издевается над здравым смыслом, он лишь доводит этот «здравый смысл» до той грани, где самое интересное как раз и начинается. Великолепная книга, в которой поиск научной истины сближается с авантюризмом, а история научных авантюр оборачивается прогрессом самой науки. Не случайно один из критиков назвал Майкла Брукса «Индианой Джонсом в лабораторном халате».Майкл Брукс — британский ученый, писатель и научный журналист, блистательный популяризатор науки, консультант журнала «Нью сайентист».

Майкл Брукс

Публицистика / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Прочая научная литература / Образование и наука / Документальное
Умные растения
Умные растения

Как они заманивают и обманывают, защищаются и помогают друг другу.Обычно мы не задумываемся об этом, однако растения вынуждены ежедневно решать чисто человеческие проблемы. Им нужно хорошо питаться, чтобы расти, защищаться от агрессоров и конкурентов, чтобы выживать, искать партнера, чтобы продолжить род, и в конце концов — заботиться о потомстве. Но как же растения, не обладающие ни мозгом, ни нервами, ни мышечной силой справляются с такими сложными задачами? Новейшие открытия демонстрируют, что у растений есть и аналог нервной системы, и своя мускулатура, и даже… нечто вроде мозга! В книге немецкого физика, писателя и телеведущего Фолькера Арцта впервые, причем наглядно и увлекательно рассказывается о том, как цветы, травы, кусты и деревья «придумывают» все новые решения своих повседневных проблем.

Фолькер Арцт

Приключения / Природа и животные

Похожие книги

27 принципов истории. Секреты сторителлинга от «Гамлета» до «Южного парка»
27 принципов истории. Секреты сторителлинга от «Гамлета» до «Южного парка»

Не важно, что вы пишете – роман, сценарий к фильму или сериалу, пьесу, подкаст или комикс, – принципы построения истории едины для всего. И ВСЕГО ИХ 27!Эта книга научит вас создавать историю, у которой есть начало, середина и конец. Которая захватывает и создает напряжение, которая заставляет читателя гадать, что же будет дальше.Вы не найдете здесь никакой теории литературы, академических сложных понятий или профессионального жаргона. Все двадцать семь принципов изложены на простом человеческом языке. Если вы хотите поэтапно, шаг за шагом, узнать, как наилучшим образом рассказать связную. достоверную историю, вы найдете здесь то. что вам нужно. Если вы не приемлете каких-либо рамок и склонны к более свободному полету фантазии, вы можете изучать каждый принцип отдельно и использовать только те. которые покажутся вам наиболее полезными. Главным здесь являетесь только вы сами.В формате PDF A4 сохранен издательский макет книги.

Дэниел Джошуа Рубин

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Зарубежная прикладная литература / Дом и досуг
Антирак груди
Антирак груди

Рак груди – непонятная и пугающая тема. Суровые факты шокируют: основная причина смерти женщин от 25 до 75 лет – различные формы рака, и рак молочной железы – один из самых смертоносных. Это современное бедствие уже приобрело характер эпидемии. Но книга «Антирак груди» написана не для того, чтобы вы боялись. Напротив, это история о надежде.Пройдя путь от постановки страшного диагноза к полному выздоровлению, профессор Плант на собственном опыте познала все этапы онкологического лечения, изучила глубинные причины возникновения рака груди и составила программу преодоления и профилактики этого страшного заболевания. Благодаря десяти факторам питания и десяти факторам образа жизни от Джейн Плант ваша жизнь действительно будет в ваших руках.Книга также издавалась под названием «Ваша жизнь в ваших руках. Как понять, победить и предотвратить рак груди и яичников».

Джейн Плант

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
Психология подросткового и юношеского возраста
Психология подросткового и юношеского возраста

Предлагаемое учебное пособие объективно отражает современный мировой уровень развития психологии пубертатного возраста – одного из сложнейших и социально значимых разделов возрастной психологии. Превращение ребенка во взрослого – сложный и драматический процесс, на ход которого влияет огромное количество разнообразных факторов: от генетики и физиологии до политики и экологии. Эта книга, выдержавшая за рубежом двенадцать изданий, дает в распоряжение отечественного читателя огромный теоретический, экспериментальный и методологический материал, наработанный западной психологией, медициной, социологией и антропологией, в талантливом и стройном изложении Филипа Райса и Ким Долджин, лучших представителей американской гуманитарной науки.Рекомендуется студентам гуманитарных специальностей, психологам, педагогам, социологам, юристам и социальным работникам. Перевод: Ю. Мирончик, В. Квиткевич

Ким Долджин , Филип Райс

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Психология / Образование и наука