История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Очень важной работой в истории алгебры был труд Диофанта Александрийского (ок. 200 — ок. 284) «Арифметика». При том, что даты жизни Диофанта, казалось бы, известны, тем не менее до сих пор нет окончательной ясности, к какому столетию следует его отнести, хотя решение математической загадки, которая, по слухам, была начертана на его могиле, указывает на его возраст в момент смерти. «Арифметика» считается новой ветвью греческой математики, она посвящена решению определенных и неопределенных уравнений в числовой форме, независимо от геометрических обоснований. Ограничение на целочисленные решения ныне сформировалось в отдельную ветвь математики, известную как диофантовы уравнения. Примером таких уравнений может служить поиск пифагоровых троек. Диофант также использовал то, что называют синкопированной алгебраической записью, то есть промежуточной стадией между риторической и полностью символической алгеброй. Эта работа была переведена на арабский язык и тщательно изучалась арабскими математиками.

Одним из наиболее значительных арабских математиков был Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (ок. 783 — ок. 850). По его имени можно понять, что он приехал из Хорезма — города в Средней Азии. Похоже, что большую часть своей жизни ал-Хорезми провел в Багдаде, где занимал должность директора библиотеки недавно основанного там Дома Мудрости. Его трактат по алгебре «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») позднее оказал огромное влияние на развитие математики в Европе. Наше слово «алгебра» возникло от латинской транслитерации слова «ал-джабр». Ал-Хорезми стремился решить практические задачи, возникающие в торговле, при наследовании и в использовании земли. В алгебраических разделах рассматриваются линейные и квадратные уравнения — термины «восполнение» и «противопоставление» относятся к алгебраическим преобразованиям. Ал-Хорезми разделяет квадратные уравнения на шесть различных групп. В арабской математике требовалось, чтобы все коэффициенты и все ответы были положительными, поэтому вместо того, чтобы писать общий вид уравнения ах² + bx + с = 0, где х — неизвестная величина, и а, b,с — коэффициенты, что было бы бессмысленным, поскольку сумма положительных элементов никогда не могла быть равна нолю, ал-Хорезми рассматривал уравнения ax² + bx = с и ax² + с = bx как два различных типа уравнений. Алгебраические решения для каждого типа уравнения приводятся отдельно, они сопровождаются геометрической иллюстрацией, возможно используя работы Евклида, но он также применяет методы, похожие на вавилонские и индийские. Геометрические иллюстрации алгебраических методов пока еще риторические: ал-Хорезми не развил символический язык, но непринужденность, с которой он перемещается между царствами алгебры и геометрии, значительно отличается от греческого стиля математики.

Ко времени ал-Караджи (953-1029) арабские математики пытались освободить алгебру от геометрических рассуждений и превратить ее в общепринятую технику арифметической работы с неизвестными. Выдающийся персидский математик Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи основал очень влиятельную школу алгебры в Багдаде. Его главная работа «Ал-Фахри» содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Ал-Караджи дал правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел, хотя он не сумел определить, что х⁰ = 1. Ал-Караджи вывел формулу бинома и привел таблицу биномиальных коэффициентов, известную ныне как треугольник Паскаля, — интересно, что персидский математик пришел к этому индуктивным методом. Его доказательство, строго говоря, нельзя назвать доказательством по индукции, тем не менее это числовая и алгебраическая процедура без ссылки на геометрию.