История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Когда великие и искусные художники созерцают свои столь нелепые творения, можно заслуженно высмеивать слепоту этих людей. Нет ничего столь ненавистного, как картины, написанные хотя и с большим усердием, но без наличия технических познаний. Ныне же единственная причина, почему подобные живописцы не знают о своей ошибке, заключается в том, что они не изучали геометрию, без которой никто не может быть совершенным художником, но вина за это должна быть возложена на их учителей, которые сами не осведомлены в этом искусстве.

Альбрехт Дюрер.

Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году.

(Из Посвящения Пиркгеймеру)[8].

10. Математика для общего блага

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как природными, так и созданными руками человека: в середине четырнадцатого столетия Черная смерть выкосила фактически половину населения, не обращая внимания на социальный статус и богатство, закончилась Столетняя война между Англией и Францией, вымотав население этих двух стран и физически, и морально. В 1453 году под ударами оттоманских турок пал Константинополь, что стало концом Византийской империи. Одновременно мы можем увидеть расцвет итальянского Ренессанса и гуманистических традиций, сочетание почтения к античности со вновь открытой верой в личную свободу и образование. Изобретение печати и гравюры означало, что новые идеи могли распространяться шире, чем было возможно до этого. Европа с интересом смотрела на остальной мир, увеличивалось количество заморских путешествий, открытий, завоеваний, расширялась торговля. Но навигация требовала точных карт морей и неба, торговля нуждалась в эффективной бухгалтерии — в то время все это было практически не развито. Алгебра, тригонометрия, начертательная геометрия, логарифмы и исчисление — все это либо появилось впервые, либо активно развивалось. Прежде чем повести рассказ об этих достижениях, стоит сказать о возрастающем в то время статусе математики.

Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в монастырях, она входила в квадривиум, состоящий из арифметики, геометрии, гармонии и астрономии. Но рабское почтение к древним текстам и тесные границы требований к математике духовных властей ограничивало то, что можно было достичь в рамках этой схоластической традиции. Термин «mathematicus» использовался для того, чтобы обозначить или математика, или астролога (Кеплер жаловался, что получал гораздо больший доход от вычисления астрологических диаграмм, чем от своей работы астронома). Хотя в то время не было пока такого явления, как профессиональный математик, экономический рост в Европе создал потребность в большом количестве людей, обученных вычислениям, которые могли заниматься финансовыми и коммерческими расчетами. Эти должности занимали люди не из университетов, а из гильдий и ремесленных цехов. В эпоху Ренессанса сыновья торговцев получали образование, изучая элементарную математику в школах или цехах. Именно там стало очень популярным использование индо-арабских цифр.