История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех математических систем. Основанная на самых общих допущениях, она выстраивает удивительно стройное здание математических теорем. Евклидова геометрия — типичная аксиоматическая дедуктивная система. Однако на этом храме геометрии имелось маленькое пятнышко, прыщик, который математики не переставали почесывать. Евклид сформулировал ныне печально известный пятый постулат, согласно которому «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат также известен как постулат о параллельных прямых. В нем говорится: если две прямые линии не параллельны, они в конечном счете пересекутся в некоторой точке. Все согласились, что постулат верен, но было слишком сложно гарантировать истинность этой, по сути, аксиомы, ставшей отправной точкой «Начал». Сперва усилия были направлены на доказывание того, что на самом деле это не постулат, а теорема, которая может быть доказана с помощью других аксиом. Многие обманывались, считая, что им удалось доказать ее, но более тщательное изучение их доказательств непременно показывало, что в них обязательно присутствуют новые предположения, которые, по существу, оказывались перепевкой пятого постулата. Найти ему более очевидную замену оказалось очень трудно.

Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии.

Письмо Фаркаша Бойаи сыну Яношу

Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал-Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника — что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.