История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Если человек не знает, как рассуждать логично, — а я должен отметить, что большинство довольно хороших, да и выдающихся математиков подпадают под эту категорию, — но просто пользуется счетом на пальцах, слепо делая выводы по аналогии с другими выводами, которые оказались правильными, он, конечно, будет постоянно делать ошибки в отношении нон-финитных чисел. Истина заключается в том, что такие люди вообще не рассуждают. Однако для того меньшинства, что способно рассуждать, рассуждение о нон-финитных числах оказывается проще, чем рассуждение о числах финитных, поскольку [в первом случае] не требуется сложный силлогизм транспонируемого количества. Например, то, что целое больше своих частей, не является аксиомой, в отличие от мнения Евклида, в высшей степени плохого логика. Это теорема, легко доказуемая с помощью силлогизма транспонируемого количества, но не иначе. Она верна в отношении конечных множеств, но ошибочна в отношении бесконечных. Так, четные числа являются частью целых чисел. Тем не менее четных чисел не меньше, чем всех целых чисел; это несложная теорема, поскольку если любое число в целом ряде целых чисел удвоится, результатом будет ряд четных чисел:

1,2, 3, 4, 5, 6 и т. д.

2, 4, 6, 8,10,12 и т. д.

Так что для каждого числа существует отдельное четное число. На самом деле существует столько же отдельных удвоенных чисел, сколько существует вообще отдельных чисел. Но все удвоенные числа являются четными…

Чарльз Сандерс Пирс[22].

Закон разума (1892)[23]

18. Поля деятельности

С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических явлений, особенно движения. Исследуемые темы включали термодинамику, астрономическую механику, гидродинамику, оптику, электричество и магнетизм. Ученые составляли дифференциальные уравнения, описывая эти явления, а затем разрабатывали методы, необходимые для их решения. Единственное точное решение было трудно найти, а потому математики сосредоточились на методах приблизительного решения. Хотя упомянутые выше явления физически выглядели совершенно по-разному, все они в некотором смысле были связаны со средой. Со времени появления ньютоновских «Начал» бушевали споры относительно реальности «действия на расстоянии»: как, например, тяготение может действовать на большом расстоянии? Что такое тяготение и магнетизм — разные проявления одной и той же силы или совершенно различные явления? Возможно ли, что пространство заполнено некоей средой, известной как эфир? Если да, то что такое эфир и каковы его свойства? Чтобы проиллюстрировать все эти вопросы, я сосредоточусь на истории теории потенциала и ее связи с электромагнетизмом.