История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Теория возмущений позволила получить более точные результаты при вычислении орбит планет, но также привела к тревожному заключению, что планеты вовсе не должны оставаться на тех орбитах, по которым они движутся в настоящий момент. Небольшие колебания легко могут увеличиться, и планета сойдет со своей орбиты — казалось, придется допустить существование ангелов, не позволяющих планетам сойти со своих орбит. (В XX веке выяснилось, что динамику Солнечной системы можно объяснить с помощью теорий хаоса, — см. Главу 24.) Увеличилось число и сложность уравнений, необходимых для описания движения планет. Во Франции аналитические методы предпочли геометрическим, и это привело к огромному числу громоздких уравнений. Аналитический подход наиболее ярко использовал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), создавший систему уравнений, известную как «лагранжиан». В его «Аналитической механике» (1788) на всех 500 страницах не было ни одной схемы. В 1799 году Лаплас издал первый том энциклопедического труда «Небесная механика», в котором особое внимание уделялось теории потенциалов и теории возмущений.

В то время во Франции произошло множество значительных событий, и лишь немногие математики смогли избежать политических беспорядков французской революции. Молодой Огюстен Луи Коши (1789–1857) избежал самых серьезных неприятностей, связанных с революцией, лишь потому, что его семья решила на время покинуть Париж. После окончания Политехнической школы он занимался постройкой портовых сооружений для запланированного Наполеоном вторжения в Англию. Но в основном он хотел посвятить себя математике, и после многочисленных разочарований ему наконец удалось занять пост доцента математического анализа в Политехнической школе.

Производительность Коши была просто потрясающей: основными его трудами были «Курс математического анализа» (1821), и «Лекции по дифференциальному анализу» (1829). Его собрание сочинений составляет приблизительно 27 толстых томов. Но в политическом климате Франции начала девятнадцатого столетия многие плохо воспринимали его верность католицизму, и его отношения с коллегами нередко были довольно напряженными. За то, что Коши поддерживал иезуитов в их борьбе против Академии наук и отказался поклясться в преданности новому режиму, в 1830 году он был лишен всех своих постов и отправился вместе с Карлом X в изгнание. По возвращении в Париж он дважды не прошел конкурс на право занять должность руководителя кафедры математики в Коллеж де Франс, хотя, безусловно, был самым лучшим кандидатом. Лишь в 1848 году, после низвержения Луи Филиппа он вернул свое положение в университете. Между 1840 и 1847 годом Коши издал свой четырехтомный труд «Упражнения по математическому анализу и математической физике». Коши помог заложить фундамент действительного и комплексного анализа, которые составляют основу математической физики.

Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область, которая стала известна как дифференциальная геометрия, расширила представления об исчислении в трехмерном пространстве. Геометрические объекты, такие, как точки, кривые и поверхности, были описаны в терминах векторов, а динамические понятия, вроде скорости, ускорения и энергии, могли быть описаны функциями и операторами, действующими на эти векторы. В трех измерениях есть три различно описанных векторных оператора: оператор градиента, в котором векторная функция выражается через скалярную функцию f (х, у, z); оператор вращения, который выражает один вектор через другой вектор, и скалярный оператор, который выражает скалярную функцию через вектор. Действительно, поскольку каждую переменную динамической системы можно было бы рассматривать как «размерность» системы, работа Римана с многомерными пространствами сделала дифференциальную геометрию прекрасным средством для моделирования физических систем в рамках одной системы. Максвелл сформулировал свою теорию электромагнетизма именно в нотации дифференциальной геометрии.