История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

В истории математики существовало множество параллельных течений, из которых то одно, то другое периодически выходило на передний план. Такими были отношения между арифметикой и геометрией, или между чистой и прикладной математикой. Другой парой противоположностей можно назвать алгоритмическую и «аналитическую» математику. Последнюю более интересовали лежащие в основе структуры и «красивые» теоремы, тогда как первая в основном занималась выработкой процедур, необходимых для принятия практических решений. Мы видели, например, как в различных системах счисления использовались различные методы или алгоритмы, позволяющие найти иррациональные числа вроде √2. Исследование того, какая процедура наиболее эффективна в терминах достижения необходимого уровня точности при наименьшем числе шагов, — основная забота алгоритмической математики.

Первоначально термин «алгоритм» обозначал вычисления, выполняемые при помощи индо-арабских цифр, в отличие от вычислений на абаке или на счетной доске. По мере сокращения в Европе подсчетов на абаке, а также потому, что вычисления стали намного более трудоемкими, росло желание выполнять вычисления при помощи механического вычислительного устройства. В семнадцатом веке математики вроде Паскаля, Декарта и Лейбница мечтали создать универсальный язык, на котором можно было бы закодировать все математические проблемы, и написать методы решения, которые можно было бы выполнять механически. Они пытались построить разнообразные механические калькуляторы. Представление Лейбница об универсальном языке исчисления выходило за рамки дифференциального и интегрального исчислений и включало формальные правила, с помощью которых можно было решать вопросы науки, этики и закона. Использование вычислительных машин могло значительно увеличить мощность любого эффективного алгоритма, но лишь в двадцатом веке произошло объединение программного обеспечения и аппаратных средств.

В 1819 году Чарльз Бэббидж (1791–1871) создал первый проект «дифференциальной машины», а в 1822 году выстроил опытный рабочий образец. Он надеялся, что это улучшит и скорость, и точность вычисления очень необходимых таблиц, например таблицы логарифмов. Британское правительство поддержало полномасштабное строительство этой машины, способной к созданию беспрецедентно точных таблиц для страхового, административного и научного использования. Но к 1834 году проект намного превысил бюджет и вышел из графика. Хотя идеи Бэббиджа и его честность в отношении финансовых вопросов никогда нее вызывали сомнений, правительство отложило дальнейшее финансирование. К тому времени он перенес свое внимание на проект «аналитической машины» — настоящего предшественника современного компьютера. Ключевой особенностью этого агрегата было разделение хранилища, где находились числа во время вычисления, и машины, которая выполняла арифметические операции. Входные и выходные данные были закодированы на перфорированных картах, равно как и устройство контроля, которое осуществляло выполнение программы. Был также предусмотрен вывод на печатное устройство. Чтобы можно было выполнять эти операции, использовался паровой двигатель. Но «аналитическая машина» так никогда и не была построена, и в 1842 году правительство решило прекратить финансирование «разностной машины». Это стало еще одним подтверждением желчного отношения Бэббиджа к британской науке. Он был сооснователем Аналитического общества, главная цель которого состояла в том, чтобы довести обучение математике в Кембридже до стандартов континента. В 1830 году он написал статью, в котором яростно критиковал состояние британской науки, в основном обвиняя в этом изолированность Королевского общества, что привело к созданию британской Ассоциации развития науки. К сожалению, анализ соотношения стоимости и эффективности идей Бэббиджа показал, что они не будут реализованы в течение еще почти ста лет.