Юный техник, 2008 № 11

(в числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел от 1 до и, а в знаменателе — от 1 до k).

Найдите пик. Ответ обоснуйте.

7. Равнобедренный треугольник ABCс основанием АСповорачивают вокруг точки Ана угол 30°, при этом точка Впереходит в точку В ₁, точка С— в точку С ₁, а отрезок В ₁С ₁проходит через точку С(рис. 1).

а)(4).Найдите расстояние от точки Кдо стороны АС(где К— это точка пересечения отрезков АВ ₁и ВС), если известно, что АВ= 6.

б)(2).Найдите длину отрезка ВС ₁.

в)(2).Найдите площадь четырехугольника АВВ ₁С ₁.

8(4).Города Аи Врасположены на берегу реки, причем город Влежит ниже по течению. В 7 часов утра из Ав Вотправился плот, плывущий относительно берегов со скоростью течения реки. В 9 часов утра из Вв  Аотправилась лодка, которая встретилась с плотом в 11 часов утра. Доплыв до города А, лодка мгновенно повернула обратно и приплыла в город Бодновременно с плотом.

В какое время они прибыли в город В?

9(3).Решите неравенство:

10(4).У одного человека был прямоугольный сад со сторонами 55 м и 40 м, и ему захотелось проложить в нем дорожку шириной 1 м, как показано на рисунке 2.

Чему равна площадь дорожки?

11(4).Фигура Мна координатной плоскости состоит из точек, координаты которых удовлетворяют условиям:

Определите, при каком значении параметра kплощадь фигуры Мравна 20.

12(3).Найдите

13(4).Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

14(5).При каких значениях параметра ауравнение х ⁴+ (а — 3)х ²+ (а + 10) ²= 0имеет четыре корня, расположенные в порядке возрастания, причем эти четыре корня составляют арифметическую прогрессию?

ФИЗИКА

1. Стеклянная банка вмещает 3 л воды. Вес банки, целиком заполненной водой, составляет 40 Н. Определите объем стекла, из которого изготовлена банка. Плотность стекла _с= 2500 кг/м ³, плотность воды _в= 1000 кг/м ³, g= 10 Н/кг.

2. История сохранила некоторые подробности одного из последних путешествий таракана Митрофана по полу кухни. На графике (рис. 1) показано, как изменялось со временем расстояние от таракана до точки старта.

Известно, что все время таракан двигался с постоянной по величине скоростью, не проходя при этом одну точку дважды. Первые три и последние три секунды своего путешествия он двигался по прямой линии. Используя данные графика, определите модуль скорости таракана и пройденный им путь. Нарисуйте траекторию движения таракана в масштабе 1:10.

3. Эхолот, установленный на всплывающем с постоянной скоростью v= 3 м/с батискафе, посылает короткий звуковой импульс. На какой глубине находился в этот момент эхолот, если глубина моря в месте погружения составляет Н= 3 км, а отраженный от дна импульс был зарегистрирован эхолотом в момент его выхода на поверхность? Скорость звука в воде составляет v _зв=1500 м/с.

4. Два груза массами m ₁= 200 г и m ₂= 300 г соединены легкой пружиной и насажены на гладкую вертикальную спицу. Нижний конец спицы упирается в горизонтальную поверхность стола, груз массой m ₁, находится внизу (рис. 2а).

При этом пружина сжата и ее длина равна L ₁= 12 см. Если конструкцию подвесить на нити, прикрепив ее к грузу массой m ₂(рис. 2б), то длина пружины станет равной L ₂= 22 см. Какой будет длина пружины, если конструкцию подвесить на нити, прикрепленной аналогично, но только к грузу массой m ₁?

5. Проведенные с помощью манометра измерения давления жидкости на разных глубинах в открытом резервуаре дали следующие результаты: у дна резервуара давление составило P ₁= 34,8 кПа, а на расстоянии h= 1 м ото дна оно составило Р ₂= 27,8 кПа. Определите по этим данным плотность жидкости и высоту столба жидкости в резервуаре. При вычислениях считайте g= 9,8 Н/кг. Манометр измеряет разность между полным давлением на данной глубине и атмосферным давлением.

6. Металлический брусок в форме куба подвешен на тонкой невесомой нерастяжимой длинной нити так, что одна из его плоскостей горизонтальна. С помощью динамометра, прикрепленного к другому концу нити, измеряют вес кубика в воздухе и в широком сосуде с жидкостью. Зависимость показаний динамометра от расстояния от нижней грани кубика до дна сосуда изображена на графике (рис. 3).

Определите по этим показаниям высоту столба жидкости в сосуде, длину ребра кубика, а также плотности жидкости и материала кубика. Изменением уровня жидкости в сосуде при поднятии кубика пренебречь.

Динамометр в жидкость не погружается. Силой Архимеда в воздухе пренебречь. При вычислениях считать g= 10 Н/кг.

7. На краю горизонтальной поверхности стола лежит, частично выступая за край, тонкий однородный деревянный стержень. Чтобы приподнять выступающий конец стержня, требуется минимальная сила F ₁. Чтобы приподнять конец стержня, находящийся на столе, требуется надавить на выступающий конец стержня с минимальной силой F ₂. Какая часть стержня выступает за край стола, если известно, что F ₂= 4F ₁?