Юный техник, 2009 № 11

3. Задумали некоторое двузначное число. Если в нем поменять местами первую и вторую цифры, а затем из результата вычесть 27, то получится задуманное число. Если же первую цифру задуманного числа умножить на 11/6 и вычесть из этого вторую цифру числа, умноженную на 14/15, то получится 1,7. Какое число было задумано?

4. Введите на клетчатой бумаге систему координат. Отметьте точки А(-2;7), B(1;-2), С(-4;-7), D(2;-5), E(3;-8), F(5;-4), G(14;-1), Н(8;2), K(11;8), L(6;3) и соедините их последовательно отрезками АВ, ВС, CD, DE, EF, FG, GH, НК, KL, LA. Найдите площадь полученной фигуры (площадь одной клетки считать равной 1 м²).

5. Свежие подосиновики содержат 93 % воды (по массе), а в сушеных подосиновиках массовая доля воды составляет 2/9. Какая масса сушеных подосиновиков получится из 20 кг свежих?

6. При каких значениях параметров а и b система уравнений

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет ровно одно решение?

Найдите эти решения (для пунктов б) и в)).

7. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает продолжение стороны CD за точку С в точке F, а биссектриса угла В пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке Е. Известно, что LAFE = 30°, ВС = 7, EF = 12. Найдите длину отрезка BH, где Н — это точка пересечения двух данных биссектрис.

8. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить 286 м³ древесины. Первые шесть дней бригада выполняла установленную планом ежедневную норму, а затем каждый день заготавливала на 9 м³ больше плановой нормы. Поэтому за день до срока было заготовлено 296 м³ древесины. Сколько кубических метров древесины в день бригада должна была заготавливать по плану?

9. В прямоугольный треугольник с периметром 36 вписана окружность. Гипотенуза точкой касания делится в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.

10. Требуется соорудить железнодорожную насыпь, имеющую 170 метров в длину, а в поперечном сечении — равнобокую трапецию с нижним основанием, равным 6 м, и углом откоса, равным 45°. Какую высоту h может иметь эта насыпь, чтобы объем земляных работ составил не менее 850 м³, но не более 1190 м³. (Объем насыпи равен произведению ее длины на площадь ее поперечного сечения.)

11. а) Изобразите на координатной плоскости фигуру М, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

б) Найдите площадь фигуры М.

12. Решите уравнение:

13. Дана окружность с центром в точке О радиуса 2.

Из конца отрезка ОР, пересекающегося с окружностью в точке К, проведена касательная РЕ к окружности (Е — точка касания), причем L ЕРО = 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков РЕ, РК и дуги КЕ.

14. Известно, что sinα + sin3α = 0,7. Найдите значение выражения cos6α — cos 2α + 2cos4α.

ФИЗИКА

1. В сосуде с горизонтальным дном и вертикальными стенками налита вода. Площадь основания внутренней части сосуда S = 25 см². Металлический цилиндр с площадью основания S₁ = 10 см² установили торцом на дно сосуда. При этом уровень воды составляет h₁ =10 см, а верхний торец цилиндра выступает из воды. Определите массу воды в сосуде.

2. Населенные пункты А и Б, расстояние между которыми L = 70 км, соединяет прямолинейный участок шоссе. Из пунктов А и Б одновременно навстречу друг другу начинают движение автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля равна 80 км/ч. На рисунке представлен график, на котором показано, как изменилось расстояние между ними с момента выезда до момента встречи. Найдите скорость автобуса.

Через какое время после момента встречи с легковым автомобилем автобус доедет до пункта Б? Считать, что скорости автобуса и автомобиля оставались постоянными во время всего движения.

3. Три бегуна участвуют в забеге на 400 м, располагаясь на соседних дорожках. Спортсмен, стартовавший по первой дорожке, финишировал первым через 56 с, бегун на третьей дорожке отстал от победителя на 2 с. Определите скорость бегуна на второй дорожке, если известно, что в момент финиша победителя все три бегуна располагались на одной прямой. Скорости бега спортсменов считать постоянными на всей дистанции.

4. Пружина динамометра имеет в недеформированном состоянии длину l₀ = 20 см. Под действием силы F = 1H она удлинилась на 1 %. Если к этому динамометру подвесить медный шар, то пружина удлинится на Δl = 5 мм.

Чему равен объем медного шара? Считать g = 9,8 Н/кг.

5. Сосуд с вертикальными стенками состоит из двух цилиндров: нижнего узкого высотой Н и площадью поперечного сечения S₁ и верхнего широкого площадью поперечного сечения S₂. При наливании в сосуд воды объемом V₁ уровень воды устанавливается ниже H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р₁. При доливании в сосуд воды объемом V₂ уровень воды поднимается выше H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р₂. Найдите Н и S₁, считая величины S₂, V₁,V₂, Р₁, Р₂ и плотность воды известными. Атмосферное давление не учитывать.