Избранные научные труды

₀

p

₀

r

-

2

W

W

r

-

2

p

₀

W

p

₀

W

r

r

=0.

(9)

Положим теперь, что W=c+, где c — средняя скорость струи, а — величина, малая по сравнению с этой скоростью. В этом случае мало, и, пренебрегая членами порядка (/c)^2, мы находим из (9)

d

dr

+

1

r

+

2

p

₀

p

₀

r

-

2

p

₀

d

cp

₀

r

dr

=0.

(10)

Численное значение |ikr|, соответствующее условиям эксперимента, будет очень малым (длина волны велика по сравнению с диаметром струи). Поэтому, чтобы не усложнять формулы, мы будем при вычислении использовать только первый член разложения J_n(ikr). При этом (1/p₀)p₀/r и решение уравнения (9) принимает вид

=

2n

c

r

^-(2n+1)

_r

⁰

d

dr

r

²ⁿ

dr

+C

.

Учитывая конечность при r=0, находим, что C=0. Интегрируя по частям, получаем

=

2n

cr

-

4n²

cr²ⁿ⁺¹

_r

⁰

r

^2n-1

dr

.

(11)

Предположим, что уравнение поверхности имеет вид

r-a==

B

e

^in+ikz

.

Общие граничные условия дают при этом

D

Dt

(r-a-)

=

r

+

+w

z

(r-a-)

=0,

откуда мы получаем, пренебрегая величинами того же порядка, что и в случае уравнений (3)

-W

z

=0,

=

i

Wk

.

Подобным же образом, обозначая через R₁ и R₂ главные радиусы кривизны, мы имеем далее

1

R₁

+

1

R₂

=

1

a

-

a^2

-

1

a^2

^2

^2

-

^2

z^2

=

1

a

-

i(n^2-1+k^2a^2)

a^2Wk

.

Обозначая коэффициент поверхностного натяжения через T, мы находим следующее динамическое условие на поверхности:

T

1

R₁

+

1

R₂

-p

=const.

Отсюда находим (в тех же приближениях, что и раньше), используя формулу (4):

T(n^2-1-k^2a^2)

a^2k^2W^2

p

r

-p

r=a

=0.

(12)

Из (12) с помощью (7) и (8) получаем

k^2

=

T

iak

J

'

n

(iak)

a^3 J

n (iak)

(n^2-1-k^2a^2)

1

W^2

1+

p₀

p₀/r

r=a

.

(13)

Наконец, из формулы (13) с помощью (11) и в том же приближении, которое было использовано при вычислении , имеем

k^2

=

T

iak

J

'

n

(iak)

c^2a^3 J

n (iak)

(n^2-1-k^2a^2)

1-

4n

ca²ⁿ

_a

⁰

r

^2n-1

dr

.

(14)

Это соотношение, за исключением последнего члена, совпадает с решением, полученным Рэлеем. Мы видим, таким образом, что влияние различия в величинах скоростей концентрических слоёв струи состоит в том, что в формуле для длины волны =2/k выражение для средней скорости струи c заменяется «эффективной средней скоростью»

c'=c+

2n

a²ⁿ

_a

⁰

r

^2n-1

dr

(15)

Из выражения (15) мы видим, что чем больше и, тем ближе будет эффективная средняя скорость совпадать со скоростью движения поверхности. Это объясняется тем, что чем больше значение n (т. е. число волн, укладывающееся на длине окружности сечения струи), тем быстрее будет уменьшаться скорость колебательного движения частиц жидкости при переходе от поверхности к оси струи.

Теперь можно показать, что c' будет меньше c, если скорость струи имеет наибольшее значение в центре и постепенно уменьшается к поверхности (это и будет иметь место в условиях эксперимента). Поскольку c — средняя скорость струи, то

_a

⁰

r

dr

=0,

и в рассматриваемом случае

_a

⁰

r

dr

>0,

если a > r > 0. Отсюда получаем для n >= 2 (в экспериментах n = 2)

c'-c

=

2n

a²ⁿ

_a

⁰

r

^2n-1

dr

=-

2n(2n-2)

a²ⁿ

_a

⁰

_r

⁰

r

dr

r

^2n-3

dr

<0.

(16)

Мы видим, что указанное различие скоростей приводит к изменению длины волны именно того знака, как это было найдено на опыте. Покажем теперь, что величина скорости изменения длины волны также приблизительно согласуется с законом затухания разности скоростей. Для этого мы используем четыре эксперимента, данные о которых представлены в таблице, приведённой в I (см. стр. 41). В помещённой ниже таблице приведены размеры среднего радиуса струи a и скорости v (вычисленной по значениям расхода воды и среднего радиуса).

Таблица

I

II

III

IV

a

0,06755

0,07554

0,07595

0,08010

v

426

428

426

429

D

₂

/D

₁

0,54

0,53

0,53

0,50

l

4,30

5,16

5,16

5,59

=(D

₂

/D

₁

)

^v/100l

0,54

0,59

0,59

0,59

'=exp

-

·1,2197

1

100

0,67

0,72

0,73

0,75

В выражении D₂/D₁ числитель означает разность между длиной волны, измеренной по расстоянию между IV и V пучностями, и постоянным значением, к которому она стремится вдали от начала струи, а знаменатель — соответствующую разность между расстоянием от II до III пучности и тем же предельным значением. При этом в значения соответствующих разностей введены небольшие поправки на кривизну струи и на конечность амплитуд волны — в согласии с тем, как это делалось в работе 1 в связи с табл. 2 (стр. 41). Далее, через l обозначена разность между средними значениями отсчётов положений IV и V и соответственно II и III пучностей волн; означает отношение разностей между длиной волны и её предельным значением в двух местах, отделённых расстоянием, которому соответствует промежуток времени 0,01 сек (при вычислении предполагалось, что эти разности спадают по экспоненциальному закону). Наконец, ' означает отношение максимальных изменений скоростей струи по сечению в двух местах, отделённых тем же интервалом времени 0,01 сек, вычисленное по теоретической формуле (см. I, стр. 28).