Избранные научные труды

Здесь предполагается, что частота обращения со такова, что для каждого электрона центробежная сила уравновешивает радиальную силу, вызванную притяжением ядра и отталкиванием других электронов. Обозначив эту силу через (e^2/a^2)F, получим в соответствии с условием универсального постоянства момента импульса электронов (как это показано в части II на стр. 108—109)

a=

h²

4²e²m

F

^-1

 и =

4²e⁴m

h³

F

²

.

Общая энергия, необходимая для удаления всех заряженных частиц на бесконечные расстояния друг от друга, равна общей кинетической энергии электронов, а именно:

W=

4²e⁴m

h²

F

²

.

Для рассматриваемой системы имеем

F

=

N^2

2n

4n

N

2/3

-1

3/2

-s

_n

,

(4)

где

s

_n

=

1

4

_s=n-1

^s=1

cosec

s

n

.

Таблица значений s_n приведена в части II на стр. 112.

Чтобы исследовать устойчивость системы, мы должны рассматривать смещения электронных орбит относительно ядра, а также ядер относительно друг друга.

Основанный на обычной механике расчёт показывает, что система неустойчива относительно смещений электронов в плоскости кольца. Однако, как и для систем, рассмотренных в части II, мы предположим, что обычные принципы механики неприменимы при рассмотрении проблемы, о которой идёт речь, и что устойчивость системы при указанных смещениях обеспечивается введением гипотезы об универсальном постоянстве момента импульса электронов. Это предположение включено в условие устойчивости, как оно дано в § 1. Следует заметить, что в части II величина F считается постоянной, тогда как для рассматриваемых здесь систем при заданных положениях ядер F меняется с радиусом кольца. Простой расчёт, подобный приведённому на стр. части II, показывает всё же, что прирост общей энергии системы при изменении радиуса кольца от a до a + a может быть представлен выражением

(P+T)

=

T

1+

a

F

F

a

a

a

^2

,

если пренебречь степенями a выше второй. Здесь T — общая кинетическая, а P — потенциальная энергия системы. Поскольку для заданных закреплённых положений ядер F увеличивается с увеличением a ( F = 0 для a = 0, = F = 2N - s_n для F = ), то член, зависящий от изменения F, положителен, а, следовательно, система устойчива относительно рассматриваемого смещения.

С помощью рассуждений, точно соответствующих изложенным на стр. 111 части II, мы получаем условие устойчивости относительно смещений электронов, перпендикулярных плоскости кольца

F < p

_n,0

- p

_n,m

,

(5)

где p_n,0 - p_n,m имеет то же значение, что и в части II, a e^2/a^3Fz означает перпендикулярную плоскости кольца компоненту силы, которая вызвана действием ядер на один из электронов, испытывающих небольшое смещение z перпендикулярно плоскости кольца. Как и для систем, рассмотренных в части II, можно представлять себе, что смещения вызваны посторонними внешними силами, действующими на электроны в направлении, параллельном оси системы.

Для системы двух ядер, заряд каждого из которых равен Ne, и кольца из n электронов, находим

G

=

N^2

2n

4n

N

2/3

-1

3/2

1-3

N

4n

2/3

.

(6)

С помощью этого выражения, используя таблицу для p_n,0 - p_n,m на стр. 112 части II, легко показать, что система, о которой идёт речь, устойчива только тогда, когда N = 1 и n равно 2 или 3.

При рассмотрении устойчивости системы относительно взаимного смещения ядер мы допустим, что движения ядер происходят настолько медленно, что состояние движения электронов в некоторый момент времени не отличается заметным образом от того, которое было вычислено в предположении, что ядра неподвижны. Такое допущение применимо вследствие больших масс ядер по сравнению с массой электронов; при этом колебания, вызванные смещением ядер, намного медленнее, чем вызванные смещениями электронов. Таким образом, для системы, состоящей из одного кольца электронов и двух ядер одинакового заряда, мы допустим, что в любой произвольный момент времени движение электронов, обусловленное смещением ядер, происходит по круговым орбитам в плоскости симметрии ядер.

Представим себе теперь, что с помощью внешних сил, действующих на ядра, мы медленно меняем расстояние между ними. В процессе смещения радиус электронного кольца меняется, поскольку меняется радиальная составляющая силы, возникающей благодаря притяжению ядер. Во время этого изменения момент импульса каждого электрона относительно прямой, соединяющей ядра, остаётся постоянным. Если расстояние между ядрами увеличивается, то радиус кольца, очевидно, также увеличивается; но радиус будет увеличиваться медленнее, чем расстояние между ядрами. Представим себе, например, смещение, при котором, как расстояние, так и радиус, увеличились в раз по сравнению с их первоначальными значениями. В новой конфигурации радиальная составляющая силы, действующей на электрон со стороны ядер и остальных электронов, равна 1/^2 от первоначальной. Далее, из постоянства момента импульса электронов при смещении следует, что скорость электронов в новой конфигурации составляет 1/, а центробежная сила — 1/^3 от первоначальных значений. Следовательно, радиальная составляющая силы больше центробежной.