Избранные работы

Выше мы находили опору для нашей точки зрения в математике и, однако, как раз из этой науки пытаются почерпнуть контраргументы.

Побудить к сомнению могло бы то, что в соответствии с нашим подходом не уделяется должного внимания различию между математическим существованием и несуществованием (стало быть, различию между реальным и воображаемым в смысле старой математики и логики). Скажут, что вопрос о том, соответствуют ли идеальным геометрическим понятиям предметы в действительности, полностью выпадает из области геометрического исследования. И все же геометры различают действительные и недействительные понятия, они говорят, соответственно, о существовании и несуществовании геометрических образований и часто приводят для одних и для других самые обстоятельные доказательства, соответственно, конструкции. Таким образом, в представлениях, которым не обязательно соответствуют предметы в действительности и, по мнению большинства, вовсе не соответствуют, существует, как это кажется, существенное различие, совершенно аналогичное обычному [различию] между действительными и недействительными представлениями: одни представляют геометрические предметы, другие нет. Суждение тождества «два представления имеют те же самые предметы» не могут здесь зависеть от гипотезы: «если предположить, что им вообще соответствует предмет», поскольку сравнение суждений относится не к действительным, но к математическим объектам и подобные объекты при «реальных» понятиях имеются на самом деле. Таким образом, кажется сомнительным основывать понятие представляемого предмета лишь на гипотетических отношениях суждений, или это кажется уместным только в том случае, если намереваются говорить о предметах в отношении всех представлений вообще, следовательно, также в отношении «круглых четырехугольников». Но не будут же ставить понятия этого вида на одну ступень с подлинными геометрическими понятиями, «реальность» которых демонстрируется благодаря конструкции, между тем как мы при этом движемся не на почве действительной, но как раз математической реальности.

Если мы выше ссылались на формальную математику, то наши противники ссылаются на реальную. Первая является свободным от любого наглядного созерцания рассуждением, которое рассматривает чистые формы математических связей и систем в наиболее общей универсальности, исследует их разнообразные возможные вариации и таким образом посредством глубочайшего проникновения в технику математических связей дает также большую техническую власть над математическими объектами, большую методическую свободу и искусность. Напротив, реальная математика опирается на наглядное созерцание, на нем основывает свои понятия и от него же получает свойственную ей реальность.

Стало быть, таким путем могли бы вновь попытаться спасти для интенциональных предметов, по крайней мере, в области математики [29] , какой-то вид существования; однако также здесь обманчивая видимость тает при учете нескольких надстраивающихся друг над другом модификаций. Нет различных модусов существования или значимости, а где мы полагаем найти таковые, там либо высказывания являются модифицированными, либо различия касаются объема употребления, который благодаря привычному отношению к основной интересующей сфере кажется суженным, между тем как понятие одновременно в явно не выраженной форме обогащается.