Избранные работы

Часто термин существование (Existenz) употребляется в смысле реального бытия (Dasein), существования внутри реальной действительности; здесь примитивное и более общее понятие существования содержательно обогащается и [его] объем сужается рамками реальных предметов. Истины, предложения, понятия также являются предметами, также в их отношении говорится о существовании в полном и прямом смысле, однако, они вообще не являются чем-то, что можно было бы встретить в реальной действительности. Насколько выражение «имеется какое-то А» может претендовать на смысл и истину, настолько же простирается сфера понятия существования. В соответствии с этим, является двусмысленным утверждение, что объекты, соответствующие математическим понятиям, не существуют, в зависимости от того, мыслят ли [при этом] реальную действительность или нет. Если бы мы имели, как верят многие, о геометрических образованиях адекватное наглядное представление в фантазии, тогда их представлениям соответствовала бы истина и все же, возможно, не действительность, как и тогда, к примеру, когда предположение действительного мира было бы обманчивой видимостью. Здесь дело обстоит подобным же образом, как и с понятиями чувственных качеств: в фантазме красного предмета красный цвет действительно существует, даже если в действительности красная вещь и, тем самым, также индивидуально присущая ей краснота не существовали бы. Репрезентативное отношение наглядного образа к наглядно не созерцаемой действительности, конечно, позволяет нам сказать: лишь сфантазированный объект не является объектом. Однако это означает только то, что фантазма не есть то, что она представляет. Но, взятая сама по себе, она существует, и вместе с ней все абстрактные моменты, которые ее конституируют и которые мы в ней усматриваем. Правда, можно было бы усомнится, возможно ли на самом деле наглядное созерцание геометрических объектов или скорее очевидно, что этого не происходит. Наглядное созерцание и пространственно-эмпирическое восприятие содержат исходные пункты и ведущие мотивы для образования геометрических понятий, но принадлежащие понятиям абстрактные предметы и их атрибуты не могут быть получены просто через «абстракцию» (в обычном теперь смысле внимательного выделения отдельных черт) из наглядных созерцаний, они не находятся внутри них как видимая форма в видимой «поверхности». Треугольник, наглядно демонстрирующий абстрактное понятие, не является геометрической фигурой, он служит геометру в качестве простого символа, типичный образец которого обладает в его душе привычной связью с соответствующим чистым понятием и его идеальным или лишь «мыслимым» предметом. Созерцаемая форма действительно обладает существованием, так же как и само наглядное созерцание, она лежит, следовательно, в основе очевидной возможности представления оформленных таким образом объектов вообще. Геометрическая форма, напротив, имеет только представленное существование, существование благодаря дефиниции и значимой дедукции из аксиоматических основоположений. Возможность геометрических образований, следовательно, совместимость объединенных в их представлениях определений обеспечивается не благодаря наглядному созерцанию этих образований (поскольку мы, безусловно, лишены такого наглядного созерцания), но благодаря совместимости скоординированных в аксиоматических основоположениях элементарных определений и благодаря чистой дедукции, которая обеспечивает «доказательство существования». Основоположения совершенной и чистой геометрической системы есть не что иное, как расщепленная в ряд отдельных высказываний дефиниция, соответственно, гипотетическое полагание разнообразия, которое следует считать геометрическим пространством. Это высказывания двойного вида: экзистенциальные высказывания и относящиеся к их предметам общие (номологические) высказывания. «Мы предполагаем (“представляем себе”) разнообразие, которое мы называем пространством, его элементы [называем] точками со следующими свойствами: пара его точек образуют “прямую”. Две прямые пересекаются в одной точке и т. д.» Система чистых следствий (в отношении к пространству рассматривается совокупность его конзекутивных свойств) образует содержание геометрии. В пространстве «существует» любое образование, существование которого является чистым следствием из основоположений, стало быть, из дефиниции пространства, соответственно, полагания пространства. Все предложения геометрии, как экзистенциальные, так и номологические, выносятся при [условии] никогда не высказываемого, в силу его само собой разумеющегося характера, общего предположения: если допустить, что существует пространство, разнообразие так-то и так-то определенного (в основоположениях четко определенного посредством дефиниций) вида, то в нем существуют такие-то и такие-то образования, для этих последних значимы такие-то и такие-то предложения и так далее. Математическое существование и несуществование есть, следовательно, существование и несуществование при [условии] гипотетического полагания соответствующих основоположений: экзистенциальные предложения, как в общей сложности все математические тезисы, являются неполными, являются простыми дополнениями гипотетических предложений с всегда одинаковой вводной частью. Исключение составляют лишь существования, которые положены в основоположениях, они не являются существованиями при [условии] гипотезы, но сами есть гипотезы, следовательно, опять же неподлинные существования. Таким образом, геометрическая истина и существование не означают возможность или совместимость, будь-то сами по себе, будь то при условии основоположений. Красный четырехугольник не есть геометрическое существование, красный и черный (по всей поверхности) четырехугольник не есть геометрическое несуществование. Скорее речь идет о чисто дедуктивно обусловленном (логически с необходимостью следующем) существовании или несуществовании при гипотезе основоположений, когда о специально принятом содержании существования последних речь не идет. «В определенном посредством дефиниций пространстве» существует квадрат, но не существует круглый квадрат, треугольник, но не равносторонний прямоугольный треугольник и т. д. Подобным образом мы говорим «в греческой мифологии» существуют нимфы, «в немецких народных сказках» – Красная Шапочка и т. д.; только здесь нам не нужно иметь дела с научными гипотезами и чистыми дедукциями. Мы не будем, следовательно, одобрять неясные высказывания о различных областях существования, о различных «мирах» (universes of discourse), которые по разному распоряжаются существованием и несуществованием того же самого объекта. «Мир» мифа, мир поэзии, мир геометрии, действительный мир – это неравноправные миры. Существует только одна истина и только один мир, но множество представлений, религиозные и мифологические убеждения, гипотезы, фикции, и вся разница сводится к тому, что мы чаще, иногда по причинам практического удобства, говорим так, словно бы суждения, которые мы выносим, были безоговорочными, [сводится к тому], что мы используем безусловные экзистенциальные высказывания, в то время как логически правильное выражение требовало бы гипотетических предложений с этими экзистенциальными предложениями в качестве придаточных предложений (или даже других эквивалентно редуцируемых к гипотетическим предложениям этого вида форм предложений). Это происходит, естественно, тогда, когда широкое разнообразие высказываний выносится при [условии] одного и того же, будь то фиктивного (произвольного, поэтического, мифологического), будь то научного предположения, хотя оно не только не высказывается, но, как правило, фактически не мыслится; оно остается тогда часто в диспозициональном возбуждении и часто придает обусловленным суждениям субъективный психологический характер, по которому мы распознаем их в качестве обусловленных. Однако часто не происходит даже этого, суждения выносятся как безусловные, в то время как только с учетом связи этого хода размышлений с суждениями других групп проявляется необходимость понимать их в качестве условно значимых. Геометр не выносит условных суждений. Только критическая рефлексия на их значимость (Wert) приводит его, если вообще [приводит], к познанию правильного положения дел.