Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Какой смыслъ и какая цѣль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ примѣрѣ взято двузначное число 97, а иногда случается вмѣсто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ранѣе его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абакѣ, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ тѣмъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множителѣ, и наши школьники по способу Адама Ризе нерѣдко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не мѣшало бы на первое время, когда они еще учатся умиожать, пользоваться чѣмъ-нибудь въ родѣ бумажки, чтобы они могли закрывать тѣ раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, нѣмецкому ученому XVI вѣка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вмѣсто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зачѣмъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нѣтъ въ зтой формѣ ни удобства, ни вообще какой-нибудь замѣтной цѣли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захотѣлъ изобрѣсти свой способъ и изобрѣлъ довольно неудачный.

Впрочемъ, на способѣ Кебеля учащіеся могутъ убѣдиться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отдѣльныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разумѣется, для отвѣта оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способѣ много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».

Прежде всего чертится рѣшетка; потомъ въ ней располагаются отдѣльныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія размѣщаются вправо и внизу; читать ихъ надо слѣва. Все это очень интересно, но для практическаго примѣненія мало годится. Это скорѣй ариѳметическое украшеніе, забава.

6. Всѣ предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы примѣняемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но вездѣ умноженіе начинается неизмѣнно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счетѣ и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, тѣмъ болѣе, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ лѣвой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и замѣнять новой.

Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное дѣйствіе, съ высшихъ или низшихъ. Послѣднее удобнѣе. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы вѣрно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на примѣрѣ:

Еще виднѣе въ многозначныхъ числахъ:

7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно тѣмъ же самымъ, чѣмъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на мѣстѣ десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 33×4567 изобразится въ такомъ видѣ: