Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Подъ именемъ австрійскаго способа разумѣется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ примѣненіемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое дѣйствіе совершается вслѣдствіе этого гораздо быстрѣе, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, человѣкъ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сдѣлаетъ ошибку и собьется. Для примѣра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ дѣлимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 4×5=20, слѣд. въ остаткѣ 5; 4×6=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, слѣд. въ остаткѣ 1; далѣе 3×4=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остаткѣ 2; всего получится послѣ вычитанія 215; сносимъ слѣдующую цифру 3 и дѣлимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX вѣка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII вѣка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго дѣленія.

Кегель въ XVII ст. даетъ болѣе грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ измѣнять цифры. Вотъ какъ у него идетъ дѣленіе 135513 на 21:

Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія:

При этомъ частное 12345 помѣщается внизу, дѣлитель 8 слѣва, а дѣлимое 98760 правѣе дѣлителя.

Испанскій способъ дѣленія.

Это самая употребительная, самая распространенная форма дѣленія. Теперь ея уже нѣтъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи лѣтъ, съ IX вѣка до XIX, она являлась общеизвѣстной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамотѣ по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой вѣкъ и скоро о немъ, навѣрное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ поколѣній: наши отцы, дѣды и прадѣды, и дѣды нашихъ прадѣдовъ. Тоже случилось съ испанскимъ дѣленіемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было дѣленіе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумѣніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математикѣ, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на пескѣ, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ примѣняться на бумагѣ, то получилось нѣчто несообразное по основной идеѣ: цифры, которыя слѣдовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ примѣры.

1) Примѣръ Альхваризми, араба IX столѣтія. Требуется 46468 раздѣлить на 324, частное 143.

Какъ видно, дѣлимое въ срединѣ; подъ нимъ помѣщается дѣлитель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на пескѣ, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ болѣе удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо дѣлить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гдѣ, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 3×4=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; далѣе 2×4=8, 8 изъ 10=2, слѣд. надъ нулемъ надо помѣстить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо замѣнить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ дѣйствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ измѣненныя цифры переписываются выше.

2) Альнасави, арабскій писатель XI вѣка, нѣсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ рѣшаетъ такъ:

Интересно отмѣтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цѣлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже дѣлителя; все это считается обозначеніемъ смѣшанной дроби 237⁸/₁₂.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще болѣе легкій образецъ дѣленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примѣръ-то самъ по себѣ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:

4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цѣпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать дѣлителя нѣсколько разъ даже въ легкомъ примѣрѣ. 924 : 6 у него представляется въ такомъ видѣ: