Как же называется эта книга?

Пусть К – утверждение о том, что говорящий – рыцарь. По словам говорящего, К эквивалентно Р. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда К действительно эквивалентно Р, и К – истинно. Следовательно, Р эквивалентно истинному утверждению. Значит, Р должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий – лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому Р не эквивалентно К. Кроме того, так как он лжец, то утверждение К ложно. Поскольку Р не эквивалентно ложному утверждению К, то Р должно быть истинно (если бы Р было эквивалентно К, то Р было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец, Р должно быть истинно.

Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то Р», то мы можем заключить, что он рыцарь и что Р истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то мы можем заключить, что Р истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.

123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.

Пусть G – утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а К – утверждение о том, что А – рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, А тем самым заявляет, что G не эквивалентно К. Предположим, что А – рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно К. Так как А – рыцарь, то К истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению К, должно быть ложным. С другой стороны, предположим, что А – лжец. Тогда G в действительности эквивалентно К (поскольку лжец сказал, что G и К не эквивалентны). Но К – ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению К. Таким образом, независимо от того, кто такой А – рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.

Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по «рыцарям и лжецам». Предположим, что Р – любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания Р. Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно Р или ложно. Достаточно спросить: «Эквивалентно ли высказывание «вы рыцарь» высказыванию «Р истинно»? Получив утвердительный ответ, вы поймете, что Р истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что Р ложно.

Тот же принцип используется и в решениях трех следующих задач. Мы будем называть его фундаментальным принципом.

124. Нам заранее известно, что на острове А нет никаких сокровищ, что сокровища зарыты либо на острове В, либо на острове С и что если на острове А есть хоть один обычный житель, то сокровища зарыты и на острове В, и на острове С.

У выбранного наугад островитянина я спросил: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что сокровища зарыты на острове В?»

Предположим, что на мой вопрос островитянин ответил утвердительно. Если он либо рыцарь, либо лжец, то сокровища (в силу фундаментального принципа, установленного в решении предыдущей задачи) зарыты на острове В. Если же он обычный человек, то сокровища зарыты на островах В и С, поэтому на острове В сокровища заведомо имеются. Таким образом, утвердительный ответ на мой вопрос означает, что на острове В есть сокровища.

Предположим, что островитянин на мой вопрос ответил отрицательно. Если он рыцарь или лжец, то (в силу фундаментального принципа) сокровищ на острове В нет. Значит, сокровища должны быть на острове С. С другой стороны, если он обычный человек, то сокровища зарыты и на острове В, и на острове С. Следовательно, на острове С зарыты сокровища. Таким образом, отрицательный ответ на мой вопрос означает, что на острове С есть сокровища.

125. Чтобы решить эту задачу, достаточно дважды воспользоваться фундаментальным принципом (объяснение его см. в решении задачи 123).

Один вопрос понадобится вам, чтобы установить, кто из трех островитян заведомо не обычный человек. Обращаясь к А, вы спрашиваете его: «Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что В – обычный человек?» Предположим, что А отвечает утвердительно. Если А либо рыцарь, либо лжец, то (в силу фундаментального принципа) В должен быть обычным человеком. Значит, С – не обычный человек. Если же А не рыцарь и не лжец, то он должен быть обычным человеком, и тогда С снова не может быть обычным человеком. Таким образом, утвердительный ответ на ваш вопрос означает, что С – не обычный человек.