Как же называется эта книга?

114. А в действительности утверждает: «Неверно, что X виновен, a Y невиновен». Но это то же самое, как если бы А утверждал: «Либо X невиновен, либо Y виновен». Следовательно, А и В в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому А и В должны быть однотипными.

115. Предположим, что А – рыцарь. Тогда В также рыцарь (по утверждению А). Следовательно, высказывание В «Если А – рыцарь, то С – рыцарь» истинно. Но (по предположению) А – рыцарь. Следовательно, С – рыцарь (в предположении, что А – рыцарь).

Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Именно это и утверждал В. Следовательно, В – рыцарь. Значит, высказывание А о том, что В – рыцарь, истинно, поэтому А также рыцарь. Итак, мы доказали, что если А – рыцарь, то С – рыцарь. Следовательно, С также рыцарь. Значит, все трое – рыцари.[4]

116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.

Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.

Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.

117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение «Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн» должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.

Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.

118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть Р – высказывание «Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет». Нам известно:

1) Если Р истинно, то я люблю Еву.

2) Если я люблю Еву, то Р истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание Р, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.

119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них. По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.

120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными. Следовательно, я не могу быть лжецом.

121. Сказать: «Р ложно, если не Q» – то же самое, что сказать: «Если Р, то Q». (Например, высказывание «Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной» эквивалентно высказыванию «Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной».) Следовательно, «исправленный» вариант пословицы «Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать» эквивалентно утверждению «Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают», а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.

122. Определить, кто такой А – рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.

Для решения этой и других задач серии «Есть ли сокровища на этом острове?» установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец) высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если Р», то Р должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий – рыцарь или лжец).