Как же называется эта книга?

Факт 1 иногда формулируют иначе: «Из ложного высказывания следует что угодно». Такое утверждение вызывает у некоторых философов самые решительные возражения (см., в частности, задачу 244 из гл. 14). Факт 2 иногда формулируют так: «Истинное высказывание следует из чего угодно».

Таблица истинности

Если заданы два высказывания Р, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) Р и Q истинны; 2) Р истинно, Q ложно; 3) Р ложно, Q истинно; 4) Р и Q ложны.

В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание Р → Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких – ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.

Случай 1: Р и Q истинны. Так как Q истинно, то Р → Q истинно (факт 2).

Случай 2: Р истинно, Q ложно. Тогда Р → Q ложно (факт 3).

Случай 3: Р ложно, Q истинно. Тогда Р → Q истинно (факт 1 или факт 2).

Случай 4: Р ложно, Q ложно. Тогда Р → Q истинно (факт 1).

Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:

Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда Р истинно и Q истинно, высказывание Р → Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если Р истинно, Q ложно, то Р → Q ложно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке – что если Р ложно и Q ложно, то Р → Q истинно.

Заметим, что Р → Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.

Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если Р, то Q», достаточно, приняв высказывание Р за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки Р следует заключение Q, то высказывание «Если Р, то Q» истинно.

В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.

А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ

109

О каждом из двух людей А и В известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что А высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то В – рыцарь».

Можно ли определить, кто такие А и В: кто из них рыцарь и кто лжец?

110

У А спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».

Докажите, что А придется съесть свою шляпу.

111

А утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два – четыре». Кто такой А: рыцарь или лжец?

112

А заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два – пять». Кто, по-вашему, А: рыцарь или лжец?

113

Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если В – рыцарь, то я лжец». Кто А и кто В?

114

Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, А и В выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно А и В известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:

А: Если X виновен, то Y виновен.

В: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что А и В однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)

115

У трех обитателей А, В и С острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:

А: В – рыцарь.

В: Если А – рыцарь, то С – рыцарь.

Можно ли определить, кто из А, В и С рыцарь и кто лжец?

Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА

116

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?

117

Предположим, что у меня спрашивают: «Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?» Я отвечаю: «Если это верно, то я люблю Бетти».

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?

118

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: «Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?» Я отвечаю: «Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда».

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

119

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее:

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.

Кого из девушек я люблю?