Как же называется эта книга?

ПРЕАМБУЛА

Многие из задач в этой главе содержат так называемые условные высказывания, то есть сложные высказывания вида «Если Р истинно, то Q истинно», где Р и Q – некоторые высказывания. Прежде чем приступить к решению задач этого типа, необходимо выяснить, какие неоднозначности могут встретиться в истолковании условных высказываний. С одними фактами согласятся все, по поводу других могут возникнуть значительные разногласия.

Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим следующее высказывание:

Если Джон виновен, то его жена виновна. (1)

Всякий согласится с тем, что если Джон виновен и если высказывание (1) истинно, то жена Джона также виновна.

Предположим теперь, что жена Джона виновна, но неизвестно, виновен Джон или невиновен. Как, по-вашему, будет ли в этом случае высказывание (1) истинно или ложно? Не считаете ли вы, что независимо от того, виновен Джон или невиновен, его жена виновна? Может быть, вы предпочитаете выразить свою мысль иначе: если Джон виновен, то его жена виновна, и если Джон невиновен, то его жена виновна?

Примеры такого словоупотребления мы находим в литературе. В рассказе Киплинга «Рикки-Тикки-Тави» кобра говорит перепуганному семейству: «Если вы двинетесь с места, я укушу, и если вы не двинетесь с места, я укушу». В переводе на более привычный язык это означает просто-напросто: «Я укушу». О наставнике секты дзен Токусане легенда рассказывает, что на все вопросы (и «невопросы») он отвечал ударами своего посоха. Ему принадлежит знаменитое изречение: «Тридцать ударов, если тебе есть что сказать, тридцать ударов, если тебе нечего сказать».

Итак, мы с трогательным единодушием заключаем, что если высказывание Q истинно, то условное высказывание «Если Р, то Q» (так же как и условное высказывание «Если не Р, то Q») истинно.

Наиболее спорный вопрос состоит в том, истинно или ложно условное высказывание «Если Р, то Q», когда оба высказывания Р и Q ложны. Обратимся к нашему примеру. Можно ли считать высказывание (1) истинным, если и Джон и его жена невиновны? К этому жизненно важному вопросу мы вскоре вернемся.

С интересующим нас вопросом тесно связан другой. Мы уже пришли к единому мнению относительно того, если Джон виновен, а его жена невиновна, то высказывание (1) должно быть ложным. Верно ли обратное утверждение? Иначе говоря, следует ли из ложности высказывания (1), что Джон должен быть виновен, а его жена невиновна? Ту же мысль можно сформулировать и по-другому: правильно ли утверждать, что высказывание (1) ложно лишь в том случае, если Джон виновен, а его жена невиновна? Если связку «если …, то …» понимать так, как это делают большинство логиков, математиков и других ученых, то на наш вопрос следует ответить утвердительно. Мы также будем придерживаться общепринятого соглашения. Заключается оно в том, что если нам заданы любые два высказывания Р и Q, то сложное высказывание «Если Р, то Q» означает: «Неверно, что Р истинно, a Q ложно» (не больше и не меньше). В частности, принятое соглашение означает, что если Джон и его жена невиновны, то высказывание (1) следует считать истинным. Единственный случай, когда высказывание (1) ложно, может представиться, если Джон виновен, а его жена невиновна. Это условие заведомо не выполняется, если Джон и его жена невиновны. Иначе говоря, если Джон и его жена невиновны, то заведомо неверно, что Джон виновен, а его жена невиновна, поэтому высказывание (1) не может быть истинным.

Следующий пример еще более причудлив:

Если Конфуций родился в Техасе, то я Дракула. (2) Высказывание (2) означает всего-навсего: «Неверно, что Конфуций родился в Техасе, и я не Дракула». Таким образом, высказывание (2) следует считать истинным.

К оценке истинности высказывания (2) можно подойти и с другой стороны. Высказывание (2) ложно лишь в том случае, если Конфуций родился в Техасе, а я не Дракула. Но поскольку Конфуций родился не в Техасе, то не может быть верно, что Конфуций родился в Техасе и что я не Дракула. Иначе говоря, высказывание (2) не может быть ложным. Следовательно, оно должно быть истинным.

Рассмотрим теперь любые два высказывания Р, Q. Составим из них сложное высказывание:

Если Р, то Q. (3)

Будем обозначать его Р → Q (эту сокращенную запись принято читать либо как «если Р, то Q», либо как «из Р следует Q», либо «Р влечет за собой Q», либо даже «Р имплицирует Q»). Слово «следует» (и его синонимы) не слишком удачно, но оно привилось в литературе. Понимать его, как мы видели, надлежит лишь в совершенно определенном, хотя, быть может, и несколько необычном смысле: неверно, что Р истинно и Q ложно. Итак, относительно высказывания Р → Q мы располагаем следующей информацией.

Факт 1. Если Р ложно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 2. Если Q истинно, то Р → Q автоматически истинно.

Факт 3. Высказывание Р → Q может быть ложно в том и только в том случае, если Р истинно, a Q ложно.