Как же называется эта книга?

137. Эта задача, как и следующие три задачи, допускает много решений. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы украсить крышки шкатулок надписью: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них сделал кто-то из членов семейства Челлини».

Ни отец, ни сын Челлини в этом случае не могли изготовить, ни одной из двух шкатулок, поскольку какую бы шкатулку они ли сделали, надпись на ее крышке оказалась бы верной, что невозможно. Следовательно, обе шкатулки изготовлены членами семейства Беллини. Значит, утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны, поэтому либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одна шкатулка сделана кем-то из семейства Челлини. Последняя альтернатива ложна. Значит, обе шкатулки изготовлены Беллини.

138. Одно из решений состоит в следующем. На крышках шкатулок было выгравировано: «По крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини». Если бы эти утверждения были истинны, то по крайней мере одна шкатулка была бы работы сына Челлини. Но это невозможно, так как сын Челлини не гравирует на крышках своих шкатулок истинные утверждения. Следовательно, оба утверждения «по крайней мере одна из этих шкатулок изготовлена сыном Челлини» ложны. Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини, из чего мы заключаем, что обе шкатулки сделал Челлини.

139. Крышки шкатулок могли бы украшать, например, такие надписи: «Либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну шкатулку сделал сын Челлини».

Докажем, что если эти надписи верны, то обе шкатулки изготовлены Беллини, а если не верны, то обе шкатулки изготовлены Челлини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, истинны. Тогда (в соответствии с надписями) либо обе шкатулки изготовлены Беллини, либо по крайней мере одну из них изготовил сын Челлини. Последняя альтернатива отпадает (сын Челлини не мог бы выгравировать на крышке шкатулки своей работы истинное утверждение). Следовательно, обе шкатулки должны быть работы Беллини.

Предположим, что утверждения, выгравированные на крышках шкатулок, ложны. В этом случае обе альтернативы, входящие в дизъюнкцию, ложны. В частности, ложна вторая альтернатива (утверждающая, что по крайней мере одну из шкатулок изготовил сын Челлини). Это означает, что ни одна из шкатулок не была изготовлена сыном Челлини. Поскольку оба утверждения все же ложны, то обе шкатулки были сделаны Челлини.

140. Одно из возможных решений состоит в следующем.

Надпись на крышке золотой шкатулки: «Эти шкатулки изготовлены Беллини и Челлини в том и только в том случае, если серебряную шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Надпись на крышке серебряной шкатулки: «Золотую шкатулку изготовил член семейства Челлини».

Пусть P — утверждение о том, что шкатулки изготовлены Беллини и Челлини, а Q — утверждение о том, что серебряную шкатулку сделал член семейства Челлини. Надпись на крышке золотой шкатулки сообщает нам, что P эквивалентно Q, а из надписи на крышке серебряной шкатулки мы узнаем, что золотую шкатулку изготовил лжец, вследствие чего надпись на ее крышке ложна. Следовательно, одна из двух надписей истинна, а другая ложна.

Предположим, что утверждение, выгравированное на крышке золотой шкатулки, истинно. Тогда (поскольку мы доказали, что одна из двух надписей истинна, а другая ложна) надпись на серебряной шкатулке должна быть ложной. Значит, серебряную шкатулку изготовил кто-то из членов семейства Челлини, поэтому Q истинно. Кроме того, так как надпись на золотой шкатулке истинна, P действительно эквивалентно Q. Следовательно, P должно быть истинно (так как Q истинно).

Предположим теперь, что надпись на золотой шкатулке ложна. Тогда надпись на серебряной шкатулке истинна. Следовательно, серебряная шкатулка не может быть работы Челлини, поэтому Q ложно и, кроме того, P не эквивалентно Q. Значит, и в этом случае P истинно.

Итак, независимо от принятых нами предположений P должно быть истинно, то есть одна из шкатулок изготовлена Беллини, а другая — Челлини.

141. Шкатулка A входит в один комплект со шкатулкой D, так, если бы мы попытались составить комплект из шкатулки A и шкатулки C, то пришли бы к следующему противоречию.

Предположим, что в одном комплекте со шкатулкой A была изготовлена шкатулка C. Пусть надпись на крышке шкатулки A истинна. Тогда надпись на крышке шкатулки C ложна. Но тогда ложна и надпись на крышке A, и мы приходим к противоречию. Пусть теперь надпись на крышке шкатулки A ложна. Тогда надпись на крышке шкатулки C истинна, из чего следует, что надпись на шкатулке A должна быть истинной, и мы опять приходим к противоречию. Значит, шкатулка C не входит в один комплект со шкатулкой A. Тем самым первая часть задачи решена.