Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Такие элементарные понятия, как точка, прямая, плоскость, и их взаимоотношения, от простых до сложных, были систематизированы и упорядочены в период с 330 по 275 год до н.э. в одной из самых известных книг во всей истории человечества. Мы говорим о «Началах» Евклида. Этот труд состоит из 13 книг, в которых содержатся все знания по геометрии того времени. Евклид построил свою геометрию на трех ключевых понятиях: аксиомах, теоремах и постулатах. Теоремы относятся к неочевидным предложениям, которые можно доказать на основе аксиом и постулатов посредством логических рассуждений. Всего Евклид ввел 23 аксиомы (или определения) и 5 постулатов. Различие между аксиомой и постулатом очень важно для понимания сущности геометрии, описанной в «Началах». Аксиома не нуждается в доказательстве, так как это ясное и очевидное утверждение. Например, первая аксиома Евклида гласит: «Точка есть то, что не имеет частей». Постулат же — предложение, которое, не будучи таким очевидным, как аксиома, считается истинным без доказательства.

Таким образом, математическое здание строится шаг за шагом на основе системы аксиом и логических правил, которые позволяют создавать теоремы. До появления неевклидовых геометрий этот фундамент казался достаточно прочным и вызывал полное доверие.

ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

В пятом постулате «Начал» Евклида — не таком ясном, как остальные четыре, — утверждается:

«Если через две прямые проходит прямая, образующая с одной стороны внутренние углы, чья сумма меньше суммы двух прямых углов, то если продолжить эти прямые бесконечно, они встретятся с той стороны, с которой сумма двух углов меньше двух прямых углов».

Возьмем прямую R₃, проходящую через прямые R₁ и R₂ (см. рисунок).

Внутренние меньшие углы, о которых идет речь в постулате, обозначены буквами а и b. Согласно пятому постулату, если мы продолжим прямые R₁ и R₂, то они пересекутся в правой части рисунка. Недостаток в этом постулате простоты и очевидности, присущей первым четырем, всегда привлекал внимание геометров. Сам Евклид старался избегать этого постулата и впервые применил его только в доказательстве номер 29 книги I. Из-за этой попытки построить всю свою геометрию без пятого постулата Евклида даже называли первым неевклидовым геометром. Так или иначе, пятый постулат с самого начала вызывал вопросы. Справедлив ли он? И если да, действительно ли это независимый постулат? Или это теорема, которую можно доказать на основе четырех предыдущих постулатов?

Но среди постулатов Евклида было слабое звено — пятый постулат. Он стал одним из самых обсуждаемых в истории математики, предметом споров, длившихся более 2000 лет, и той трещиной, которая разрушила все здание.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Неевклидова геометрия — это любая геометрическая система, отрицающая истинность пятого постулата. Если вспомнить, что евклидова геометрия на протяжении 2000 лет считалась единственно возможным геометрическим подходом к изучению окружающего нас мира, то становится понятно: для ее отрицания требовалась определенная интеллектуальная дерзость. Создание таких альтернативных геометрий, казалось, могло быть только математической игрой, забавой. И действительно, сначала дело обстояло именно так, но со временем эти геометрии стали мощным инструментом не только в математике (в таких областях, как динамические системы, автоморфная функция, теория чисел), они оказались необходимой системой измерений во многих областях современной физики.

ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА