Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Фон Нейман предложил для решения этой проблемы два способа, которые дополняли друг друга: аксиому регулярности и понятие класса. Обе эти модели он изложил в 1928 году в своей докторской диссертации Die Automatisierung der Mengenlehere {«Аксиоматизация теории множеств»), которую защитил в Будапештском университете.

При помощи аксиомы регулярности и следуя аксиомам Цермело фон Нейман строил множества снизу вверх, так, что если одно множество принадлежало другому, то оно обязательно было первым в последовательности. При этом исключалась вероятность того, что множество принадлежит само себе. Важно подчеркнуть, что метод, использованный фон Нейманом для демонстрации этого результата, стал фундаментальным для многих доказательств теории множеств и используется по сей день.

Другой его метод, связанный с понятием класса, состоял в использовании функций для определения множеств.

ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Функция принадлежности, применяемая для множества, принимает только два значения — 0 и 1 — исходя из заданного критерия. Его устанавливают так, что все элементы, принимающие значение 1, — это именно те, что составляют множество, которое мы хотим определить. Рассмотрим множество всех четных чисел. С помощью функции с его можно определить следующим образом: с (4) = 1; с (7) = 0; с (31) = 0; с (220) = 1. То есть функция с равна 1, когда применяется к четному числу, и 0 — когда к нечетному (см. рисунок). Таким образом, множество всех четных чисел — это множество, образованное всеми числами, для которых функция принадлежности принимает значение 1. Следовательно, множества можно определять с помощью функций.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами — это особый вид соотношений между элементами первого и второго множеств. Например, если первое множество состоит из рубашек, а второе — из брюк, мы можем установить между ними следующее соответствие: каждой рубашке первого множества соответствует пара брюк такого же размера из второго. Тогда мы скажем, что брюки — отображение определенной рубашки. Может случиться, что у одной рубашки будет размер XXL, а среди брюк не будет ни одной пары этого размера; тогда мы скажем, что у этой рубашки нет отображения. Или может быть, что одной рубашке соответствуют несколько пар брюк того же размера. В этом случае мы скажем, что у рубашки несколько отображений. Когда каждому элементу соответствует только одно отображение, мы говорим о взаимно однозначном отображении, или о биективной функции. Например, биективной будет функция, переводящая каждое число множества целых чисел в то же число, умноженное на два. Назовем эту функцию f. Мы получим, что f(2) = 4; f(5) = 10; f(14) = 28... Если вместо того чтобы записывать через функцию значения, которые принимает каждый элемент, мы запишем их в скобках, то получим тот же результат:

(2, 4) (5, 10) (14, 28).

Разница состоит только в том, что теперь функция определена через множество, элементы которого представляют собой пары. Итак, функция может быть представлена как множество парных элементов, а множество может быть выражено с помощью функции принадлежности. Идея о том, что множество основано на понятии принадлежности, относится к аксиоматике Цермело — Френкеля. Фон Нейман же (ему было всего 22 года, когда он разработал свою аксиоматику теории множеств) взял в качестве ключевого понятия функцию. Это формальное отличие имеет важное следствие: количество аксиом Цермело — Френкеля не определено изначально, теоретически оно может быть бесконечным, в то время как, следуя подходу фон Неймана, требуется всего 18 аксиом, к тому же первую можно включить во вторую как частный случай.

Еще одним достоинством метода фон Неймана было то, что модель множества основывалась не на принадлежности, а на классах функций, которые делились на множества и собственно классы. Последние настолько велики, что не могут содержаться в других классах. Множества же удовлетворяют ограничивающим условиям и могут входить в другие классы. Таким образом, внутри забора оставались только овцы, а все волки оказывались снаружи, поскольку то, что приводило к противоречиям, было рассмотрением не классов самих по себе, а возможности их вхождения самих в себя. Аксиоматика Цермело — Френкеля, дополненная фон Нейманом, используется и сегодня.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

С самого зарождения физика была экспериментальной наукой.

Физическая теория часто рождается в результате опыта и подтверждается другим опытом. В промежутке строятся рабочие гипотезы, даются определения терминам и выводятся формулы — в этом случае физика активно сотрудничает с математикой. Создание формул крайне важно, так как в числе прочего в них заложен большой потенциал предвидения и обобщения, что является следствием абстрактного характера математики.