Кантор. Бесконечность в математике.

После того как было доказано, что бытие способно изменяться, как можно опровергнуть аргументы Зенона? Во всех его парадоксах предполагается, что пространство и время бесконечно делимы. В примере с деревом между деревом и рукой имеется бесконечное количество переходов. Тогда Аристотель сказал, что бесконечности не существует. Точнее, она существует только в потенции и никогда — в действии. Идея бесконечности в потенции подразумевает, что некое количество может возрастать сколько угодно, но все равно в итоге будет конечным, идея бесконечности в действии — что это количество на самом деле бесконечно. Это различие очень важное, и мы еще к нему вернемся. По Аристотелю, можно допустить наличие количества, которое возрастает неопределенным образом, но всегда будет конечным, однако нельзя принять идею действительно бесконечного количества. Допустимо разделить расстояние между рукой и деревом на десять, сто, тысячу частей или на любое конечное количество каких угодно единиц измерения, но нельзя утверждать, что оно делится на действительно бесконечное количество фрагментов.

Аристотель не ограничился постулированием несуществования актуальной бесконечности, он привел несколько аргументов в поддержку этого тезиса, которые мы рассмотрим далее. Тем не менее необходимо сказать, что аристотелевское отрицание актуальной бесконечности оказывало влияние на европейскую философию на протяжении двух тысячелетий.

Помимо силы доводов столь длительное господство его идеи объясняется двумя причинами.

Прежде всего, человеческий разум не в состоянии представить себе актуальную бесконечность, поэтому нам проще принять то, что на самом деле ее не существует. Мы скорее представим потенциальную бесконечность — количество, которое бесконечно возрастает, — но не актуальную бесконечность. Как выглядела бы, например, прямая действительно бесконечной длины? Нужно представить себе линию целиком (то есть то, что мы «видим» в воображении, не должно быть отрезком прямой), но при этом бесконечную. Однако наш разум неспособен создать такой образ. Мы можем представить линию, которая уходит за горизонт, и сказать, что она продолжается до бесконечности, но в таком случае мы «видим» прямую с длиной, «бесконечной в потенции», так как наше зрение охватывает только ее часть. Или же возьмем числа 0,1,2,3,4,5 и так далее. Представить этот ряд как действительно бесконечный значило бы представить все числа без исключений в одном списке, но при этом этот список не должен кончаться. Нашему разуму это не под силу.

Вторая причина, по которой аристотелевский подход к бесконечности имел такой успех, состоит в том, что, рассуждая о бесконечности как о реальности, нельзя не столкнуться с логическими противоречиями или прийти к странным выводам — как Зенон, заключивший, что изменений и движения не существует. Еще один пример относится к XVII веку, когда перед Галилео Галилеем возникли противоречия, впоследствии приведшие его к отрицанию актуальной бесконечности. В XIX веке чешский математик Бернард Больцано попытался развить теорию математической бесконечности, но и он обнаружил парадоксы, для которых не смог найти удовлетворительного решения. Далее мы разберем оба случая.

Не все соглашались с идеей Аристотеля. Так, в I веке римский философ и поэт Лукреций в своей учебной поэме De rerum natura («О природе вещей») провозгласил, что Вселенная бесконечна. В противном случае, отмечал он, у нее была бы граница, и если мы бросим камень с силой, достаточной, чтобы он пролетел через нее, то камень будет существовать уже вне Вселенной. А это невозможно, так как ничто не существует за ее пределами по определению. Сегодня мы знаем, что аргументация Лукреция ошибочна и Вселенная может быть конечной, не имея при этом границы, как поверхность шара — конечная, но без предела. Согласно современным космологическим теориям, вполне вероятно, что Вселенная конечна. Тем не менее возражения Аристотелю были редки, и, как уже было сказано, его идеи господствовали в философии и математике примерно до 1870 года. Тогда русско-немецкий математик Георг Кантор, как он сам признавал, фактически против воли следуя логике собственных исследований, ввел в математику изучение актуальной бесконечности. Задача была непростой, не столько из-за сложности, сколько из-за резкого неприятия ее многими коллегами. Речь шла о нарушении тысячелетней традиции. Ученого даже называли «шарлатаном» и «развратителем молодежи».