Кентерберийские головоломки

113. Хотя объем бруска достаточен для того, чтобы получить 25 кусков, на самом деле удается вырезать лишь 24. Сначала уменьшите длину бруска в полдюйма. Меньший кусок отрежьте, ибо его не удастся использовать. Разрежьте больший кусок на три плитки толщиной в 1 1/4 дюйма, и вы обнаружите, что из каждой плитки легко можно вырезать по восемь блоков без дальнейших потерь материала.

114. Наименьшее число бисквитов равно 1021, откуда видно, что это были те миниатюрные бисквитики, которые любят дети. Общее решение состоит в том, что для случая п человек число бисквитов должно равняться m (n^n+l) – (п-1), где m – любое целое число. Каждый человек получит при окончательном разделе m (n-1) ⁿ – і бисквитов, хотя в случае двух человек, когда m = 1, при окончательной дележке бисквит получит лишь собака. Разумеется, в любом случае каждый человек крадет n-ю часть бисквитов, отдав предварительно лишний бисквит собаке.

Задачи на шахматной доске

115. Существует 255 различных способов разрезать доску на две части одинаковых размеров и формы. Каждый способ должен включать в себя один из пяти разрезов, показанных на рисунках A, B, C, D и Е.

Дабы избежать повторений при поворотах и отражениях, нужно рассматривать лишь те разрезы, которые начинаются в точках а, b и с. Но заканчиваться разрез должен в точке, расположенной на одной проходящей через центр прямой с точкой начала. Это наиболее важное условие, которое следует помнить. В случае В вы не можете начать разрез в точке а, ибо в противном случае вы пришли бы к случаю Е. Аналогично в случаях С или D вы не должны подходить к ключевой прямой в том же направлении, в каком идет она сама, ибо тогда вы получили бы случай A или В. Если вы действуете способом A или С и начинаете разрез в а, то, чтобы не получилось повторений, вы должны рассматривать соединения лишь в одном из концов ключевой прямой. В других случаях вы должны рассматривать соединения в обоих концах ключевой прямой, но, пройдя а в случае D, поворачивайте всегда либо направо, либо налево (используя лишь одно направление). На рисунках 1 и 2 приведены примеры для случая A; на рисунках 3 и 4 – для случая В; на рисунках 5 и 6 – для случая С, а рисунок 7 – хороший пример случая D. Разумеется, Е – особый тип, допускающий лишь одно решение, поскольку вполне очевидно, что вы не можете начать разрез в b или с.

Вот итоговая таблица:

Я не пытался решить ту же задачу для настоящей доски 8 X 8, ибо, какой бы метод здесь не применялся, чтобы получить ответ, потребуется очень большая работа,

116. Решение показано на рисунке. Можно заметить, что каждая из четырех частей (после проведения разрезов вдоль жирных линий) имеет тот же размер и ту же форму, что и остальные, и, кроме того, содержит по льву и короне.

Две из частей заштрихованы, дабы сделать решение более ясным для глаза.

117. Существует 15 различных способов разрезания доски 5 X5 (с удаленной центральной клеткой) на две части одинаковых размеров и формы. Ограниченность места не позволяет мне привести здесь все соответствующие рисунки, но я помогу читателю нарисовать их самому без малейшего затруднения. В какой бы точке края вы ни начали разрез, заканчиваться он должен в точке, симметричной с ней относительно центра доски. Так, если вы начинаете разрез в точке 1 (рис. слева) вверху, то заканчивать его вы должны в нижней точке 1. Далее, 1 и 2 – единственные две существенно различные точки начала; если мы начнем разрез в других точках, то получим такие же решения.

Направления разрезов в упомянутых 15 способах указаны на рисунке числами. То, что эти числа повторяются дважды, не приведет к недоразумению, ибо каждое последующее число расположено рядом с предыдущим. Любое направление, которое вы изберете при движении сверху вниз, должно быть повторено при движении снизу вверх; одно направление служит точным отражением другого (точнее, переходит в него при повороте доски на 180° вокруг центра).

1, 4, 8.

1, 4, 3, 7, 8.

1, 4, 3, 7, 10, 9.

1, 4, 5, 9

1, 4, 5, 6, 10, 7, 8,

2, 3, 4, 8

2, 3, 4, 5, 9.

2, 3, 4, 5, 6, 10, 9.

2, 3, 4, 5, 6, 10, 7, 8.

2, 3, 7, 8.

2, 3, 7, 10, 9.

2, 3, 7, 10, 6, 5, 9.

2, 3, 7, 10, 6, 5, 4, 8.

Можно заметить, что четвертое направление (1, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 9) совпадает с показанным на рисунке справа. Тринадцатое совпадает с решением, приведенным при формулировке задачи, где разрез начинается с боковой стороны, а не сверху доски. Части, однако, окажутся одинаковой формы, если их перевернуть другой стороной кверху, что, как указывалось в условии, не приводит к новому решению.

118. Способ разрезания доски таким образом, чтобы все 4 части оказались одинаковых размеров и формы и содержали по одному драгоценному камню, показан на рисунке. Клетки двух частей заштрихованы, чтобы сделать решение более наглядным.

Быть может, читателю будет небезынтересно сравнить эту головоломку с задачей 14 настоящей книги.